שינויים

3);הוכחהיהי <math>\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon varepsilon>0</math>.

<math>\begin{align}\lim_{n \to \infty }{}\Big[a_n-+b_n\Big]=a-+b\ \Rightarrow \ \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n >N_1\in to\mathbbBig|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\varepsilon\\\lim_{Nn\to\infty}\Big[a_n-b_n\Big]=a-b\ \Rightarrow\ \exists N_2\in\N: (\forall n>N_2\geq Nto\rightarrow Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )varepsilon\end{align}</math>

נגדיר:<math>N=\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}</math>.

אז לכל <math>n \geq N</math> מתקיים <math> begin{align}\Big|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\epsilon varepsilon\and\wedge Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )</math>, כלומר <math> varepsilon\\\Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\wedge and\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\end{align}</math>,

נחבר את שני האיאי-שוויוניםהשוויונות: <math> \Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|+\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon</math>

אבל לפי אי-שוויון המשולש  <math>\begin{align}2|a_n-a|=\big|2(a_n-a)\big|&=\Big|(a_n-a)+(b_n-b)+(a_n-a)-(b_n-b)\Big| \leq \&\le\Big|a_n-a+(b_n-b)\Big|+\Big|a_n-a-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon\end{align}</math>.  נצמצם ב2 ב-2 ונקבל ש<math>\lim_lim\limits_{n \to \infty }{a_n}=a</math>. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור <math>b</math> .

411)הוכחההשאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: הטור מתכנס לפי הנתון ניזכר בנוסחה - <math>(ל0f\circ g). ע"י שינוי סדר איברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי '(c)=f'\big(g(c)\big)\cdot g'(הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכוםc). לפי משפט רימן אכן קיים טור כדרוש.</math>

מהנתון על f נובע ש <math>\exists M begin{align}\in frac{d}{dx}\Big(f\big(f\big(f(x)\big)\big)\Big)&=\mathbbfrac{Rd}{dx}:\forall Big(f\circ f\big(f(x )\in big)\Big)\\&=\frac{d}{dx}\big(a,bf\circ g(x): |\big)\\&=f'\big(g(x)|<M \big)\cdot g'(x)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot\frac{d}{dx}\Big(f\big(f(x)\big)\Big)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot f'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)\end{align}</math>.

מהנתון על g נובע ש נציב את הנקודה הנתונה: <math>f'\exists \delta >big(f(f(0:))\forall x big)\in cdot f'\big(a,bf(0): -\delta <x<big)\cdot f'(0 )=f'\rightarrow |gbig(xf(0)|<\frac{big)\epsilon }{M}cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8</math>.

כעת, עבור דוגמא פשוטה היא <math>\delta2x</math> הנ"ל, <math>\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |f(x)g(x)|=|f(x)|\cdot |g(x)|<M\cdot \frac{\epsilon }{M}=\epsilon .</math>, כנדרש.

6==חלק ג'==12) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל- <math>f|_x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>\left\{x_{R^+n_k}\right\}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית.נסמן את גבולה <math>L</math> .. XD)

יהי <math>y>0</math>. נגדיר <math>h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y</math>. <math>h(0)=-y<0</math>היא מקיימת את הדרוש, ואילו מכיוון ש <math>\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty </math>, קיימת נקודה d עבורה <math>h(d)>0</math>. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה <math>x</math> בקטע <math>(0,d)</math> שבה <math>h(x)=0</math>, כלומר <math>f(x)=y</math>!שכן

ברור ש<math>f</math> אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד\lim_{k\to\infty}\Big[x_{n_{k+1}}-צדדיים שונים, אבל <math>f^2x_{n_k}\Big]=L-L=0</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשיכנדרש.

<math>f'(x13)=היה בשיעורי הבית. (x^{3x}מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)'=(e^{3xlnx})'=e^{3xlnx}\cdot (3xlnx)'=x^{3x}\cdot (3lnx+3)</math>.

<math>f(214 זלצמן וינץ)=2^{6}</math>. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ;הוכחהידוע שהרכבת פונקציות רבמ"י נקודה ושיפוע, ונקבל: ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.

<math>y=2^{6}+2^{6}\cdot (3ln2+3)sin(x-2)== 192(,\sqrt{x-2)(1+ln}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (2סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול))+64ולכן גם ההרכבה <math>\sin\circ\sqrt{x}</math>רבמ"ש.

1014 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה ל- נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\sum \fracdfrac{f(-1x)^n(3+\frac{1}{nx},h(x)^n}{(1+=\frac{1}{n})^{n^2}}dfrac1x</math>.

נבדוק התכנסות בהחלטמתקיים: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math>\frac{g'(3+x)=\fracdfrac{1d}{ndx}\left(\dfrac{f(x)}{(1+x}\fracright)=\dfrac{1x\cdot f'(x)-f(x)}{nx^2}</math> וגם <math>h'(x)^=-\dfrac1{n}x^2}</math>.

11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה - קיימת נקודה <math> c\in(fx_1,x_2)</math> עבורה מתקיים <math>\circ dfrac{g'(c)}{h'(c) }= f'\dfrac{g(x_2)-g(cx_1)}{h(x_2)\cdot g'-h(cx_1). }</math>.

לכן הנגזרת המבוקשת היא נפשט את שני אגפי השוויון הקודם: <math>(f(f(f(x))))'=(f\circ fdfrac{g(f(xx_2)))'=(f\circ -g(xx_1))'=f'(g}{h(xx_2))\cdot g'-h(xx_1)}=\dfrac{\dfrac{f'(f(f(x))x_2)}{x_2}-\cdot (dfrac{f(f(xx_1)))'}{x_1}}{\dfrac1{x_2}-\dfrac1{x_1}}=f'\dfrac{\dfrac{x_1f(fx_2)-x_2f(f(x))x_1)}{x_1x_2}}{\cdot f'dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}}=\dfrac{x_1f(f(xx_2))\cdot f'-x_2f(xx_1)}{x_1-x_2}</math>.

נציב את הנקודה הנתונה: ובאגף השני - <math>f\dfrac{g'(f(f(0c)))\cdot f}{h'(f(0)c)}=\dfrac{\dfrac{c\cdot f'(0c)=f'(-f(0)c)}{c^2}}{-\cdot dfrac1{c^2}}=f'(0c)-c\cdot f'(0c)=f'(0)^3=2^3=8</math>. לכן בסה"כ '''8'''.

14<math>f(c) הוכחה: ידוע שהרכבת פונ-c\cdot f' רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע. (c)=\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>

<math>sinx, \sqrt{x}blacksquare</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>sin\circ \sqrt{x}</math> רבמ"ש.