שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,

נוספו 2,732 בתים, 06:03, 10 בפברואר 2017
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19bf37da8b.pdf המבחן] )
==חלק א==
1) נכון. זאת ההגדרה.
2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.
2) נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: כיון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקציה טריויאלית - מוסיפים אברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס על-פי הגדרה.
3) הוכחה: יהי <math> \epsilon>0</math>.
3);הוכחהיהי <math>\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon varepsilon>0</math>.
<math>\begin{align}\lim_{n \to \infty }{}\Big[a_n-+b_n\Big]=a-+b\ \Rightarrow \ \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n >N_1\in to\mathbbBig|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\varepsilon\\\lim_{Nn\to\infty}\Big[a_n-b_n\Big]=a-b\ \Rightarrow\ \exists N_2\in\N: (\forall n>N_2\geq Nto\rightarrow Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )varepsilon\end{align}</math>
נגדיר:<math>N=\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}</math>.
אז לכל <math>n>N</math> מתקיים
אז לכל <math>n \geq N</math> מתקיים <math> begin{align}\Big|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\epsilon varepsilon\and\wedge Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )</math>, כלומר <math> varepsilon\\\Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\wedge and\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\end{align}</math>,
נחבר את שני האיאי-שוויוניםהשוויונות: <math> \Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|+\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon</math>
אבל לפי אי-שוויון המשולש  <math>\begin{align}2|a_n-a|=\big|2(a_n-a)\big|&=\Big|(a_n-a)+(b_n-b)+(a_n-a)-(b_n-b)\Big| \leq \&\le\Big|a_n-a+(b_n-b)\Big|+\Big|a_n-a-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon\end{align}</math>.  נצמצם ב2 ב-2 ונקבל ש<math>\lim_lim\limits_{n \to \infty }{a_n}=a</math>. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור <math>b</math> .
מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))
;דרך טיפה יותר אלגנטית
<math>\displaystyle\begin{align}a_n=\dfrac{(a_n+b_n)+(a_n-b_n)}{2}&,&b_n&=\dfrac{(a_n+b_n)-(a_n-b_n)}{2}\\\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=a&,&\lim_{n\to\infty}b_n&=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=b\end{align}</math>
 
 
4)
;הוכחה
הטור מתכנס לפי הנתון ל-0. ע"י שינוי סדר אברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימאן אכן קיים טור כדרוש.
 
 
5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי <math>\varepsilon>0</math> (התחלה מקורית).
 
מהנתון על <math>f</math> נובע <math>\exists M\in\R:\forall x\in(a,b):|f(x)|<M</math> .
 
מהנתון על <math>g</math> נובע <math>\exists\delta>0:\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to|g(x)|<\dfrac{\varepsilon}{M}</math> .
 
כעת, עבור <math>\delta</math> הנ"ל, <math>\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to\big|f(x)g(x)\big|=|f(x)|\cdot|g(x)|<M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon</math> , כנדרש.
 
 
6)
;הוכחה
רוצים להראות שהפונקציה <math>f|_{\R^+}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
 
יהי <math>y>0</math> . נגדיר <math>h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y</math> .
 
<math>h(0)=-y<0</math> , ואילו מכיון ש- <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=\infty</math> , קיימת נקודה <math>d</math> עבורה <math>h(d)>0</math> . לפי משפט ערך הביניים קיימת נקודה <math>x\in(0,d)</math> עבורה <math>h(x)=0</math> , כלומר <math>f(x)=y</math> !
 
 
7) הפרכה: נתבונן בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\ge3\\-1&x<3\end{cases}</math> בקטע <math>I=\R</math> .
 
ברור כי <math>f</math> אינה רציפה ב-3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>f^2</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.
 
 
8)
;הוכחה
כיון שנתון כי <math>a_n</math> חיובית, גם <math>\dfrac1{a_n}</math> חיובית. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים
<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math> ולכן הטור המבוקש מתכנס :)
 
==חלק ב'==
9)
 
<math>\begin{align}f(x)&=x^{3x}\\f'(x)&=\frac{d}{dx}(x^{3x})=\frac{d}{dx}\big(e^{3x\ln(x)}\big)=e^{3x\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\big(3x\ln(x)\big)=3x^{3x}\cdot\big(\ln(x)+1\big)\end{align}</math>
 
נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: <math>f'(2)=3\cdot2^6\big(\ln(2)+1\big)=192\big(1+\ln(2)\big)</math> .
 
<math>f(2)=64</math>. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל:
 
<math>y=64+192\big(1+\ln(2)\big)(x-2)=192\big(1+\ln(2)\big)x+64-384\big(\ln(2)+1\big)</math> .
 
 
10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}\right)^n</math> .
 
נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math>\dfrac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}</math> .
4)הוכחה: הטור מתכנס לפי הנתון מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3+\frac1n}{\left(ל01+\frac1n\right). ע"י שינוי סדר איברים ניתן לשנות את הסכום^n}=\frac3e>1</math> , ולכן הטור אינו מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע . יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על הסכוםמבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם). לפי משפט רימן אכן קיים טור כדרוש.
5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי <math> \epsilon>0</math> (התחלה מקורית).
מהנתון על f נובע ש 11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה - <math>(f\exists M \in \mathbb{R}:\forall x \in circ g)'(a,bc): |=f'\big(xg(c)\big)\cdot g'(c)|<M </math>.
מהנתון על g נובע ש <math>\exists \delta >0:\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon }{M}</math>.לכן הנגזרת המבוקשת היא
כעת, עבור <math>\delta</math> הנ"ל, <math>begin{align}\forall x frac{d}{dx}\in Big(a,b): -f\delta <big(f\big(f(x<0 )\rightarrow |big)\big)\Big)&=\frac{d}{dx}\Big(f\circ f\big(f(x)\big)\Big)\\&=\frac{d}{dx}\big(f\circ g(x)|\big)\\&=|f'\big(g(x)|\big)\cdot |g'(x)|<M\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot \frac{\epsilon d}{Mdx}\Big(f\big(f(x)\big)\Big)\\&=f'\epsilon .big(f(f(x))\big)\cdot f'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)\end{align}</math>, כנדרש.
נציב את הנקודה הנתונה: <math>f'\big(f(f(0))\big)\cdot f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)=f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8</math> .
6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה דוגמא פשוטה היא <math>f|_{R^+}2x</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
יהי <math>y>0</math>. נגדיר <math>h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y</math>.
<math>h(0)=-y<0</math>, ואילו מכיוון ש <math>\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty
</math>, קיימת נקודה d עבורה <math>h(d)>0</math>. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה <math>x</math> בקטע <math>(0,d)</math> שבה <math>h(x)=0</math>, כלומר <math>f(x)=y</math>!
==חלק ג'==
12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל- <math>x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>\left\{x_{n_k}\right\}</math> . נסמן את גבולה <math>L</math> .
7) הפרכה: נתבונן בפונ'<math> f(x)=\left\{\begin{matrix}1 &x\geq 3 \\ -1 & x<3\end{matrix}\right.</math> בקטע <math>I=\mathbb{R}</math>.היא מקיימת את הדרוש, שכן
ברור ש<math>f\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\lim_{k\to\infty}x_{n_{k+1}}=L</math> אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>f^2</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.
ולכן לפי אריתמטיקת גבולות מתקיים
9) <math>f(x)=x^\lim_{3xk\to\infty}\Big[x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\Big]=L-L=0</math>כנדרש. נגזור:
<math>f'(x)=(x^{3x})'=(e^{3xlnx})'=e^{3xlnx}\cdot (3xlnx)'=x^{3x}\cdot (3lnx+3)</math>.
נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: <math>f'(2)=2^{6}\cdot (3ln2+3)</math>.
<math>f(213)=2^{6}</math>היה בשיעורי הבית. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע(מניחים בשלילה, ונקבל: משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)
<math>y=2^{6}+2^{6}\cdot (3ln2+3)(x-2)== 192(x-2)(1+ln(2))+64</math>.
14 זלצמן וינץ)
;הוכחה
ידוע שהרכבת פונקציות רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.
10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה ל- <math>\sum \frac{sin(-1x)^n(3+,\fracsqrt{1}{nx}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול)^n}{(1+ולכן גם ההרכבה <math>\sin\fraccirc\sqrt{1}{n})^{n^2}x}</math>רבמ"ש.
נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math>\frac{(3+\frac{1}{n})}{(1+\frac{1}{n})^{n}}</math>.
מתקיים 14 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\lim_{n \to \infty }\fracdfrac{f(3+\frac{1x)}{nx})}{,h(1+\frac{1}{n}x)^{n}}=\frac{3}{e}>1dfrac1x</math>, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).
מתקיים: <math>g'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)=\dfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}</math> וגם <math>h'(x)=-\dfrac1{x^2}</math> .
11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה - <math> (f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c). </math>
לכן הנגזרת המבוקשת היא <math>(f(f(f(x))))'=(f\circ f(f(x)))'=(f\circ g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)=f'(f(f(x)))\cdot (f(f(x)))'=f'(f(f(x)))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x)</math>.כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל:
נציב את הנקודה הנתונה: קיימת נקודה <math>f'c\in(f(f(0))x_1,x_2)</math> עבורה מתקיים <math>\cdot fdfrac{g'(f(0c))\cdot f}{h'(0c)}=f'\dfrac{g(f(0x_2))\cdot f'-g(0x_1)\cdot f'}{h(0x_2)=f'-h(0x_1)^3=2^3=8}</math>. לכן בסה"כ '''8'''.
דוגמה פשוטה היא נפשט את שני אגפי השוויון הקודם: <math>2x\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}=\dfrac{\dfrac{f(x_2)}{x_2}-\dfrac{f(x_1)}{x_1}}{\dfrac1{x_2}-\dfrac1{x_1}}=\dfrac{\dfrac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1x_2}}{\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}}=\dfrac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>.
ובאגף השני - <math>\dfrac{g'(c)}{h'(c)}=\dfrac{\dfrac{c\cdot f'(c)-f(c)}{c^2}}{-\dfrac1{c^2}}=f(c)-c\cdot f'(c)</math>
13) היה בשיעורי הבית.ובסך הכל קיבלנו את הדרוש:
14<math>f(c) הוכחה: ידוע שהרכבת פונ-c\cdot f' רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע. (c)=\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>
<math>sinx, \sqrt{x}blacksquare</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>sin\circ \sqrt{x}</math> רבמ"ש.
יהודה שמחה
226
עריכות
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מיוחד:השוואה_ניידת/19223...70462