[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19bf37da8b.pdf המבחן] )
==חלק א==
1) נכון. זאת ההגדרה.
2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.
2) נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: כיון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקציה טריויאלית - מוסיפים אברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס על-פי הגדרה.
3) הוכחה: יהי <math> \epsilon>0</math>.
3);הוכחהיהי <math>\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon varepsilon>0</math>.
<math>\begin{align}\lim_{n \to \infty }{}\Big[a_n-+b_n\Big]=a-+b\ \Rightarrow \ \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n >N_1\in to\mathbbBig|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\varepsilon\\\lim_{Nn\to\infty}\Big[a_n-b_n\Big]=a-b\ \Rightarrow\ \exists N_2\in\N: (\forall n>N_2\geq Nto\rightarrow Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )varepsilon\end{align}</math>
נגדיר:<math>N=\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}</math>.
אז לכל <math>n>N</math> מתקיים
אז לכל <math>n \geq N</math> מתקיים <math> begin{align}\Big|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\epsilon varepsilon\and\wedge Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )</math>, כלומר <math> varepsilon\\\Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\wedge and\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\end{align}</math>,
נחבר את שני האיאי-שוויוניםהשוויונות: <math> \Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|+\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon</math>
אבל לפי אי-שוויון המשולש <math>\begin{align}2|a_n-a|=\big|2(a_n-a)\big|&=\Big|(a_n-a)+(b_n-b)+(a_n-a)-(b_n-b)\Big| \leq \&\le\Big|a_n-a+(b_n-b)\Big|+\Big|a_n-a-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon\end{align}</math>. נצמצם ב2 ב-2 ונקבל ש<math>\lim_lim\limits_{n \to \infty }{a_n}=a</math>. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור <math>b</math> .
מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))
;דרך טיפה יותר אלגנטית
<math>\displaystyle\begin{align}a_n=\dfrac{(a_n+b_n)+(a_n-b_n)}{2}&,&b_n&=\dfrac{(a_n+b_n)-(a_n-b_n)}{2}\\\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=a&,&\lim_{n\to\infty}b_n&=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=b\end{align}</math>
4)הוכחה: הטור מתכנס לפי הנתון (ל0). ע"י שינוי סדר איברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימן אכן קיים טור כדרוש.
54) הטענה נכונה. ;הוכחה: יהי <math> \epsilon>הטור מתכנס לפי הנתון ל-0</math> . ע"י שינוי סדר אברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (התחלה מקוריתהוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימאן אכן קיים טור כדרוש.
מהנתון על f נובע ש <math>\exists M \in \mathbb{R}:\forall x \in (a,b): |f(x)|<M </math>.
מהנתון על g נובע ש 5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי <math>\exists \delta varepsilon>0:\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon }{M}</math>(התחלה מקורית).
כעת, עבור מהנתון על <math>\deltaf</math> הנ"ל, נובע <math>\exists M\in\R:\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |f(x)g(x)|=|f(x)|\cdot |g(x)|<M\cdot \frac{\epsilon }{M}=\epsilon .</math>, כנדרש.
מהנתון על <math>g</math> נובע <math>\exists\delta>0:\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to|g(x)|<\dfrac{\varepsilon}{M}</math> .
6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה כעת, עבור <math>\delta</math> הנ"ל, <math>\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to\big|f(x)g(x)\big|_=|f(x)|\cdot|g(x)|<M\cdot\dfrac{R^+\varepsilon}{M}=\varepsilon</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינאריתכנדרש... XD)
יהי <math>y>0</math>. נגדיר <math>h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y</math>.
<math>h(0)=-y<0</math>, ואילו מכיוון ש <math>\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty
</math>, קיימת נקודה d עבורה <math>h(d)>0</math>. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה <math>x</math> בקטע <math>(0,d)</math> שבה <math>h(x)=0</math>, כלומר <math>f(x)=y</math>!
6)
;הוכחה
רוצים להראות שהפונקציה <math>f|_{\R^+}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
7) הפרכה: נתבונן בפונ'יהי <math> fy>0</math> . נגדיר <math>h(x)=\left\frac{\begin{matrix}1 &x\geq 3 \\ ^5-1 & x<3\end{matrix}\right.</math> בקטע <math>I=\mathbb{Rx^2+1}-y</math>.
ברור ש<math>fh(0)=-y<0</math> אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החדואילו מכיון ש-צדדיים שונים, אבל <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=\infty</math> , קיימת נקודה <math>d</math> עבורה <math>h(d)>0</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.לפי משפט ערך הביניים קיימת נקודה <math>x\in(0,d)</math> עבורה <math>h(x)=0</math> , כלומר <math>f(x)=y</math> !
8) '''הוכחה:''' מכיוון שנתון ש <math>a_n</math> חיובית, גם <math>\frac{1}{a_n}</math> חיובית. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים
<math>\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math> ולכן הטור המבוקש מתכנס :)
97) הפרכה: נתבונן בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x^\ge3\\-1&x<3\end{3xcases}</math> בקטע <math>I=\R</math>. נגזור:
ברור כי <math>f'(x)=(x^{3x})'=(e^{3xlnx})'=e^{3xlnx}\cdot (3xlnx)'=x^{3x}\cdot (3lnx+</math> אינה רציפה ב-3), משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>f^2</math>היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.
נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: <math>f'(2)=2^{6}\cdot (3ln2+3)</math>.
8);הוכחהכיון שנתון כי <math>f(2)=2^a_n</math> חיובית, גם <math>\dfrac1{6a_n}</math>חיובית. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבלנפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math> ולכן הטור המבוקש מתכנס :)
<math>y=2^{6}+2^{6}\cdot (3ln2+3)(x-2)= 192(x-2)(1+ln(2)חלק ב'==9)+64</math>.
<math>\begin{align}f(x)&=x^{3x}\\f'(x)&=\frac{d}{dx}(x^{3x})=\frac{d}{dx}\big(e^{3x\ln(x)}\big)=e^{3x\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\big(3x\ln(x)\big)=3x^{3x}\cdot\big(\ln(x)+1\big)\end{align}</math>
10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה ל- נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: <math>\sum \frac{f'(-12)=3\cdot2^n6\big(3+\frac{ln(2)+1}{n}\big)^n}{=192\big(1+\frac{1}{n})^{n^ln(2}})\big)</math>.
נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math>\frac{f(3+\frac{1}{n}2)}{(1+\frac{1}{n})^{n}}=64</math>.נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל:
מתקיים <math>y=64+192\lim_{n \to \infty }\frac{big(31+\frac{1}{n}ln(2)\big)}{(x-2)=192\big(1+\frac{1}{n}ln(2)^{n}}=\frac{3}{e}>big)x+64-384\big(\ln(2)+1\big)</math>, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).
1110) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה - נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה <math> (f\circ g)'(c) displaystyle\sum_{n= f'1}^\infty\left(g-\frac{3+\frac1n}{\left(c)1+\frac1n\right)^n}\cdot g'(cright). ^n</math>.
לכן הנגזרת המבוקשת היא נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math>(f(f(f(x))))'=(f\circ f(f(x)))'=(fdfrac{3+\circ g(x))'=f'(g(x))frac1n}{\cdot g'left(x)=f'(f(f(x)))1+\cdot (f(f(x)))'=f'(f(f(x)))frac1n\cdot f'(f(x))\cdot f'(xright)^n}</math>.
נציב את הנקודה הנתונה: מתקיים <math>f'(f(f(0)))\cdot f'(f(0))lim\cdot f'(0)=f'(f(0))limits_{n\cdot f'to\infty}\dfrac{3+\frac1n}{\left(0)1+\cdot f'(0)=f'(0frac1n\right)^3n}=2^3=8\frac3e>1</math>, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. לכן בסה"כ '''8'''יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).
דוגמה פשוטה היא <math>2x</math>.
1211) לפי משפט בולצאנוהשאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה -ויירשטראס יש ל<math>x_n</math> תת סדרה מתכנסת <math>(f\left circ g)'(c)=f'\{ x_{n_k} big(g(c)\right big)\}cdot g'(c)</math>. נסמן גבולה ב-<math>L</math>. היא מקיימת את הדרוש, שכן
<math>\lim_{k \to \infty } x_{n_k}=\lim_{k \to \infty } x_{n_{k+1}}=L</math> ולכן לפי אריתמטיקת גבולות מתקיים: לכן הנגזרת המבוקשת היא
<math>\lim_begin{k \to align}\infty frac{d} x_{n_dx}\Big(f\big(f\big(f(x)\big)\big)\Big)&=\frac{k+1d}{dx}-x_\Big(f\circ f\big(f(x)\big)\Big)\\&=\frac{n_kd}{dx}\big(f\circ g(x)\big)\\&=L-Lf'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)\\&=0f'\big(f(f(x))\big)\cdot\frac{d}{dx}\Big(f\big(f(x)\big)\Big)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot f'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)\end{align}</math> כנדרש.
נציב את הנקודה הנתונה: <math>f'\big(f(f(0))\big)\cdot f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)=f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8</math> .
דוגמא פשוטה היא <math>2x</math> .
13) היה בשיעורי הבית. (מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)
14) הוכחה: ידוע שהרכבת פונ==חלק ג' רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע==12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל- <math>x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>\left\{x_{n_k}\right\}</math> . נסמן את גבולה <math>L</math> .
<math>sinxהיא מקיימת את הדרוש, \sqrt{x}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>sin\circ \sqrt{x}</math> רבמ"ש.שכן
<math>\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\lim_{k\to\infty}x_{n_{k+1}}=L</math>
14) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}, h(x)=\frac{1}{x}</math>. ולכן לפי אריתמטיקת גבולות מתקיים
מתקיים: <math>g'(x)=(\fraclim_{f(x)k\to\infty}\Big[x_{xn_{k+1}})'=\frac{xf'(x)-f(x)}x_{x^2n_k}</math> וגם <math>h'(x)\Big]=L-\frac{1}{x^2}L=0</math>כנדרש.
כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל:
13) היה בשיעורי הבית. (מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)
14 זלצמן וינץ);הוכחהידוע שהרכבת פונקציות רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע. <math>\sin(x),\sqrt{x}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>\sin\circ\sqrt{x}</math> רבמ"ש. 14 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\dfrac{f(x)}{x},h(x)=\dfrac1x</math> . מתקיים: <math>g'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)=\dfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}</math> וגם <math>h'(x)=-\dfrac1{x^2}</math> . כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל: קיימת נקודה <math>c \in (x_1,x_2)</math> שבה עבורה מתקיים:<math>\fracdfrac{g'(c)}{h'(c)} =\fracdfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}</math>.
נפשט את שני אגפי השוויון הקודם: <math>\fracdfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}=\fracdfrac{\fracdfrac{f(x_2)}{x_2}-\fracdfrac{f(x_1)}{x_1}}{\frac{1}dfrac1{x_2}-\frac{1}dfrac1{x_1}}=\fracdfrac{\fracdfrac{x_1f(x_2)-fx_2f(x_1)x_2}{x_1x_2}}{\fracdfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}}=\fracdfrac{x_1f(x_2)-fx_2f(x_1)x_2}{x_1-x_2}</math>
ובאגף השני - <math>\fracdfrac{g'(c)}{h'(c)} =\fracdfrac{\fracdfrac{cfc\cdot f'(c)-f(c)}{c^2}}{-\frac{1}dfrac1{c^2}}=-(cf'f(c)-c\cdot f'(c))</math>
ובסך הכל קיבלנו את הדרוש:
<math>-(cf'f(c)-f(c))=\frac{x_1f(x_2)-cdot f(x_1)x_2}{x_1-x_2}\Rightarrow f(c)-cf'(c)=\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>
<math>\blacksquare </math>
