[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19bf37da8b.pdf המבחן] )
== חלק א' ==
1) נכון. זאת ההגדרה.
2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.
2) נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: כיון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקציה טריויאלית - מוסיפים אברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס על-פי הגדרה.
3) הוכחה: יהי <math> \epsilon>0</math>.
3);הוכחהיהי <math>\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon varepsilon>0</math>.
<math>\begin{align}\lim_{n \to \infty }{}\Big[a_n-+b_n\Big]=a-+b\ \Rightarrow \ \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n >N_1\in to\mathbbBig|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\varepsilon\\\lim_{Nn\to\infty}\Big[a_n-b_n\Big]=a-b\ \Rightarrow\ \exists N_2\in\N: (\forall n>N_2\geq Nto\rightarrow Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )varepsilon\end{align}</math>
נגדיר:<math>N=\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}</math>.
אז לכל <math>n>N</math> מתקיים
אז לכל <math>n \geq N</math> מתקיים <math> begin{align}\Big|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\epsilon varepsilon\and\wedge Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\epsilon )</math>, כלומר <math> varepsilon\\\Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\wedge and\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<\epsilon varepsilon\end{align}</math>,
נחבר את שני האיאי-שוויוניםהשוויונות: <math> \Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|+\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon</math>
אבל לפי אי-שוויון המשולש <math>\begin{align}2|a_n-a|=\big|2(a_n-a)\big|&=\Big|(a_n-a)+(b_n-b)+(a_n-a)-(b_n-b)\Big| \leq \&\le\Big|a_n-a+(b_n-b)\Big|+\Big|a_n-a-(b_n-b)\Big|<2\epsilon varepsilon\end{align}</math>. נצמצם ב2 ב-2 ונקבל ש<math>\lim_lim\limits_{n \to \infty }{a_n}=a</math>. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור <math>b</math> .
מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))
;דרך טיפה יותר אלגנטית
<math>\displaystyle\begin{align}a_n=\dfrac{(a_n+b_n)+(a_n-b_n)}{2}&,&b_n&=\dfrac{(a_n+b_n)-(a_n-b_n)}{2}\\\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=a&,&\lim_{n\to\infty}b_n&=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=b\end{align}</math>
4)הוכחה: הטור מתכנס לפי הנתון (ל0). ע"י שינוי סדר איברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימן אכן קיים טור כדרוש.
54) הטענה נכונה. ;הוכחה: יהי <math> \epsilon>הטור מתכנס לפי הנתון ל-0</math> . ע"י שינוי סדר אברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (התחלה מקוריתהוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימאן אכן קיים טור כדרוש.
מהנתון על f נובע ש <math>\exists M \in \mathbb{R}:\forall x \in (a,b): |f(x)|<M </math>.
מהנתון על g נובע ש 5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי <math>\exists \delta varepsilon>0:\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon }{M}</math>(התחלה מקורית).
כעת, עבור מהנתון על <math>\deltaf</math> הנ"ל, נובע <math>\exists M\in\R:\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |f(x)g(x)|=|f(x)|\cdot |g(x)|<M\cdot \frac{\epsilon }{M}=\epsilon .</math>, כנדרש.
מהנתון על <math>g</math> נובע <math>\exists\delta>0:\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to|g(x)|<\dfrac{\varepsilon}{M}</math> .
6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה כעת, עבור <math>\delta</math> הנ"ל, <math>\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to\big|f(x)g(x)\big|_=|f(x)|\cdot|g(x)|<M\cdot\dfrac{R^+\varepsilon}{M}=\varepsilon</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינאריתכנדרש... XD)
יהי <math>y>0</math>. נגדיר <math>h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y</math>.
<math>h(0)=-y<0</math>, ואילו מכיוון ש <math>\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty
</math>, קיימת נקודה d עבורה <math>h(d)>0</math>. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה <math>x</math> בקטע <math>(0,d)</math> שבה <math>h(x)=0</math>, כלומר <math>f(x)=y</math>!
6)
;הוכחה
רוצים להראות שהפונקציה <math>f|_{\R^+}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
7) הפרכה: נתבונן בפונ'יהי <math> fy>0</math> . נגדיר <math>h(x)=\left\frac{\begin{matrix}1 &x\geq 3 \\ ^5-1 & x<3\end{matrix}\right.</math> בקטע <math>I=\mathbb{Rx^2+1}-y</math>.
ברור ש<math>fh(0)=-y<0</math> אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החדואילו מכיון ש-צדדיים שונים, אבל <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=\infty</math> , קיימת נקודה <math>d</math> עבורה <math>h(d)>0</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.לפי משפט ערך הביניים קיימת נקודה <math>x\in(0,d)</math> עבורה <math>h(x)=0</math> , כלומר <math>f(x)=y</math> !
8) '''הוכחה:''' מכיוון שנתון ש <math>a_n</math> חיובית, גם <math>\frac{1}{a_n}</math> חיובית. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים
<math>\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math> ולכן הטור המבוקש מתכנס :)
7) הפרכה: נתבונן בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\ge3\\-1&x<3\end{cases}</math> בקטע <math>I= חלק ב' ==\R</math> .
9) ברור כי <math>f</math> אינה רציפה ב-3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>f(x)=x^{3x}2</math>היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי. נגזור:
<math>f'(x)=(x^{3x})'=(e^{3xlnx})'=e^{3xlnx}\cdot (3xlnx)'=x^{3x}\cdot (3lnx+3)</math>.
נציב 8);הוכחהכיון שנתון כי <math>a_n</math> חיובית, גם <math>\dfrac1{a_n}</math> חיובית. נפעיל את הנקודה הנתונה למציאת השיפועמבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים <math>f'(2)=2^\displaystyle\lim_{6n\to\infty}\cdot (3ln2+3)sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math>.ולכן הטור המבוקש מתכנס :)
<math>f(2)=2^{6}</math>. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל: =חלק ב'==9)
<math>y\begin{align}f(x)&=2x^{63x}+2\\f'(x)&=\frac{d}{dx}(x^{63x})=\cdot frac{d}{dx}\big(3ln2+3)e^{3x\ln(x-2)}\big)= 192e^{3x\ln(x-2)}\cdot\frac{d}{dx}\big(1+3x\ln(2x)\big)=3x^{3x}\cdot\big(\ln(x)+641\big)\end{align}</math>.
נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: <math>f'(2)=3\cdot2^6\big(\ln(2)+1\big)=192\big(1+\ln(2)\big)</math> .
10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה ל- <math>\sum \frac{f(-12)^n(3+\frac{1}{n})^n}{(1+\frac{1}{n})^{n^2}}=64</math>.נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל:
נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math>y=64+192\frac{big(31+\frac{1}{n}ln(2)}{\big)(x-2)=192\big(1+\frac{ln(2)\big)x+64-384\big(\ln(2)+1}{n}\big)^{n}}</math>.
מתקיים <math>\lim_{n \to \infty }\frac{(3+\frac{1}{n})}{(1+\frac{1}{n})^{n}}=\frac{3}{e}>1</math>, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).
10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}\right)^n</math> .
11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרתנבדוק התכנסות בהחלט: ניזכר בנוסחה לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math> (f\circ g)'dfrac{3+\frac1n}{\left(c) = f'(g(c))1+\frac1n\cdot g'(cright). ^n}</math>.
לכן הנגזרת המבוקשת היא מתקיים <math>(f(f(f(x))))'=(f\circ f(f(x)))'=(flim\circ g(x))'=f'(g(x))limits_{n\cdot g'to\infty}\dfrac{3+\frac1n}{\left(x)=f'(f(f(x)))1+\frac1n\cdot (f(f(xright)))'^n}=f'(f(f(x)))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x)frac3e>1</math>, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).
נציב את הנקודה הנתונה: <math>f'(f(f(0)))\cdot f'(f(0))\cdot f'(0)=f'(f(0))\cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8</math>. לכן בסה"כ '''8'''.
דוגמה פשוטה היא 11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה - <math>2x(f\circ g)'(c)=f'\big(g(c)\big)\cdot g'(c)</math>.
לכן הנגזרת המבוקשת היא
<math>\begin{align}\frac{d}{dx}\Big(f\big(f\big(f(x)\big)\big)\Big)&=\frac{d}{dx}\Big(f\circ f\big(f(x)\big)\Big)\\&= חלק ג\frac{d}{dx}\big(f\circ g(x)\big)\\&=f' \big(g(x)\big)\cdot g'(x)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot\frac{d}{dx}\Big(f\big(f(x)\big)\Big)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot f'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)\end{align}</math>
12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל<math>x_n</math> תת סדרה מתכנסת נציב את הנקודה הנתונה: <math>f'\left big(f(f(0))\{ x_{n_k} big)\right cdot f'\}big(f(0)\big)\cdot f'(0)=f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8</math>. נסמן גבולה ב-<math>L</math>. היא מקיימת את הדרוש, שכן
דוגמא פשוטה היא <math>\lim_{k \to \infty } x_{n_k}=\lim_{k \to \infty } x_{n_{k+1}}=L2x</math> ולכן לפי אריתמטיקת גבולות מתקיים: .
<math>\lim_{k \to \infty } x_{n_{k+1}}-x_{n_k}=L-L=0</math> כנדרש.
==חלק ג'==
12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל- <math>x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>\left\{x_{n_k}\right\}</math> . נסמן את גבולה <math>L</math> .
היא מקיימת את הדרוש, שכן
13) היה בשיעורי הבית. (מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)<math>\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\lim_{k\to\infty}x_{n_{k+1}}=L</math>
14 זלצמן וינץ) הוכחה: ידוע שהרכבת פונ' רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע. ולכן לפי אריתמטיקת גבולות מתקיים
<math>sinx, \sqrtlim_{xk\to\infty}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>sin\circ \sqrtBig[x_{xn_{k+1}}-x_{n_k}\Big]=L-L=0</math> רבמ"שכנדרש.
14 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}, h(x)=\frac{1}{x}</math>.
מתקיים: <math>g'(x13)=היה בשיעורי הבית. (\frac{f(xמניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)}{x})'=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}</math> וגם <math>h'(x)=-\frac{1}{x^2}</math>.
כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל:14 זלצמן וינץ);הוכחהידוע שהרכבת פונקציות רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.
<math>\sin(x),\sqrt{x}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>\sin\circ\sqrt{x}</math> רבמ"ש.
14 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\dfrac{f(x)}{x},h(x)=\dfrac1x</math> . מתקיים: <math>g'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)=\dfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}</math> וגם <math>h'(x)=-\dfrac1{x^2}</math> . כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל: קיימת נקודה <math>c \in (x_1,x_2)</math> שבה עבורה מתקיים:<math>\fracdfrac{g'(c)}{h'(c)} =\fracdfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}</math>.
נפשט את שני אגפי השוויון הקודם: <math>\fracdfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}=\fracdfrac{\fracdfrac{f(x_2)}{x_2}-\fracdfrac{f(x_1)}{x_1}}{\frac{1}dfrac1{x_2}-\frac{1}dfrac1{x_1}}=\fracdfrac{\fracdfrac{x_1f(x_2)-fx_2f(x_1)x_2}{x_1x_2}}{\fracdfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}}=\fracdfrac{x_1f(x_2)-fx_2f(x_1)x_2}{x_1-x_2}</math>
ובאגף השני - <math>\fracdfrac{g'(c)}{h'(c)} =\fracdfrac{\fracdfrac{cfc\cdot f'(c)-f(c)}{c^2}}{-\frac{1}dfrac1{c^2}}=-(cf'f(c)-c\cdot f'(c))</math>
ובסך הכל קיבלנו את הדרוש:
<math>-(cf'f(c)-f(c))=\frac{x_1f(x_2)-cdot f(x_1)x_2}{x_1-x_2}\Rightarrow f(c)-cf'(c)=\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>
<math>\blacksquare </math>
