הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
(גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת)
שורה 2: שורה 2:
 
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19bf37da8b.pdf המבחן] )
 
([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19bf37da8b.pdf המבחן] )
  
== חלק א' ==
+
==חלק א==
 
+
 
1) נכון. זאת ההגדרה.
 
1) נכון. זאת ההגדרה.
  
2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.
 
  
 +
2) נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: כיון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקציה טריויאלית - מוסיפים אברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס על-פי הגדרה.
  
3) הוכחה: יהי <math> \epsilon>0</math>.
 
  
<math>\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon
+
3)
</math>
+
;הוכחה
 +
יהי <math>\varepsilon>0</math> .
  
<math>\lim_{n \to \infty }{}a_n-b_n=a-b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n-b_n-(a-b)|<\epsilon )</math>
+
<math>\begin{align}\lim_{n\to\infty}\Big[a_n+b_n\Big]=a+b\ \Rightarrow\ \exists N_1\in\N:\forall n>N_1\to\Big|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\varepsilon\\\lim_{n\to\infty}\Big[a_n-b_n\Big]=a-b\ \Rightarrow\ \exists N_2\in\N:\forall n>N_2\to\Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\varepsilon\end{align}</math>
  
נגדיר:
+
נגדיר: <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> .
<math>N\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}</math>.
+
  
 +
אז לכל <math>n>N</math> מתקיים
  
אז לכל <math>n \geq N</math> מתקיים <math> |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon \wedge |a_n-b_n-(a-b)|<\epsilon )</math>, כלומר
+
<math>\begin{align}\Big|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\varepsilon\and\Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\varepsilon\\\Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|<\varepsilon\and\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<\varepsilon\end{align}</math>
<math> |a_n-a+b_n-b|<\epsilon \wedge |a_n-a-(b_n-b)|<\epsilon </math>,
+
  
נחבר את שני האי-שוויונים: <math> |a_n-a+b_n-b|+|a_n-a-(b_n-b)|<2\epsilon </math>
+
נחבר את שני אי-השוויונות: <math>\Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|+\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<2\varepsilon</math>
  
אבל לפי אי-שוויון המשולש <math>2|a_n-a|=|2(a_n-a)|=|a_n-a+b_n-b+a_n-a-(b_n-b)|   \leq  |a_n-a+b_n-b|+|a_n-a-(b_n-b)|<2\epsilon
+
אבל לפי אי-שוויון המשולש
</math>. נצמצם ב2 ונקבל ש<math>\lim_{n \to \infty }{a_n}=a</math>. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור b.  
+
 
 +
<math>\begin{align}2|a_n-a|=\big|2(a_n-a)\big|&=\Big|(a_n-a)+(b_n-b)+(a_n-a)-(b_n-b)\Big|\\&\le\Big|a_n-a+(b_n-b)\Big|+\Big|a_n-a-(b_n-b)\Big|<2\varepsilon\end{align}</math>
 +
 
 +
נצמצם ב-2 ונקבל <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a</math> . כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור <math>b</math> .
  
 
מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))
 
מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))
  
'''דרך טיפה יותר אלגנטית'''
+
;דרך טיפה יותר אלגנטית
<math>a_n=\frac{1}{2}((a_n+b_n)+(a_n-b_n)),b_n=\frac{1}{2}((a_n+b_n)-(a_n-b_n))</math>
+
<math>\displaystyle\begin{align}a_n=\dfrac{(a_n+b_n)+(a_n-b_n)}{2}&,&b_n&=\dfrac{(a_n+b_n)-(a_n-b_n)}{2}\\\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=a&,&\lim_{n\to\infty}b_n&=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=b\end{align}</math>
ולכן על פי אריתמטיקה <math>a_n\to (a+b+a-b)/2=a,b_n\to (a+b-a+b)/2=b</math>
+
  
4)הוכחה: הטור מתכנס לפי הנתון (ל0). ע"י שינוי סדר איברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימן אכן קיים טור כדרוש.
 
  
5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי <math> \epsilon>0</math> (התחלה מקורית).
+
4)
 +
;הוכחה
 +
הטור מתכנס לפי הנתון ל-0. ע"י שינוי סדר אברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימאן אכן קיים טור כדרוש.
  
מהנתון על f נובע ש <math>\exists M \in \mathbb{R}:\forall x \in (a,b): |f(x)|<M </math>.
 
  
מהנתון על g נובע ש <math>\exists \delta >0:\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon }{M}</math>.
+
5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי <math>\varepsilon>0</math> (התחלה מקורית).
  
כעת, עבור <math>\delta</math> הנ"ל, <math>\forall x \in (a,b): -\delta <x<0 \rightarrow |f(x)g(x)|=|f(x)|\cdot |g(x)|<M\cdot \frac{\epsilon }{M}=\epsilon .</math>, כנדרש.
+
מהנתון על <math>f</math> נובע <math>\exists M\in\R:\forall x\in(a,b):|f(x)|<M</math> .
  
 +
מהנתון על <math>g</math> נובע <math>\exists\delta>0:\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to|g(x)|<\dfrac{\varepsilon}{M}</math> .
  
6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה <math>f|_{R^+}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
+
כעת, עבור <math>\delta</math> הנ"ל, <math>\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to\big|f(x)g(x)\big|=|f(x)|\cdot|g(x)|<M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon</math> , כנדרש.
  
יהי <math>y>0</math>. נגדיר <math>h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y</math>.
 
<math>h(0)=-y<0</math>, ואילו מכיוון ש <math>\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty
 
</math>, קיימת נקודה d עבורה <math>h(d)>0</math>. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה <math>x</math> בקטע <math>(0,d)</math> שבה <math>h(x)=0</math>, כלומר <math>f(x)=y</math>!
 
  
 +
6)
 +
;הוכחה
 +
רוצים להראות שהפונקציה <math>f|_{\R^+}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
  
7) הפרכה: נתבונן בפונ'
+
יהי <math>y>0</math> . נגדיר <math>h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y</math> .
<math>  
+
f(x)=\left\{\begin{matrix}
+
1 &x\geq 3 \\
+
-1 & x<3
+
\end{matrix}\right.
+
</math>
+
בקטע <math>I=\mathbb{R}</math>.
+
  
ברור ש<math>f</math> אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>f^2</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.
+
<math>h(0)=-y<0</math> , ואילו מכיון ש- <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=\infty</math> , קיימת נקודה <math>d</math> עבורה <math>h(d)>0</math> . לפי משפט ערך הביניים קיימת נקודה <math>x\in(0,d)</math> עבורה <math>h(x)=0</math> , כלומר <math>f(x)=y</math> !
  
8) '''הוכחה:''' מכיוון שנתון ש <math>a_n</math> חיובית, גם <math>\frac{1}{a_n}</math> חיובית. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים
 
<math>\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math> ולכן הטור המבוקש מתכנס :)
 
  
== חלק ב' ==
+
7) הפרכה: נתבונן בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\ge3\\-1&x<3\end{cases}</math> בקטע <math>I=\R</math> .
  
9) <math>f(x)=x^{3x}</math>. נגזור:
+
ברור כי <math>f</math> אינה רציפה ב-3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>f^2</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.
  
<math>f'(x)=(x^{3x})'=(e^{3xlnx})'=e^{3xlnx}\cdot (3xlnx)'=x^{3x}\cdot (3lnx+3)</math>.
 
  
נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: <math>f'(2)=2^{6}\cdot (3ln2+3)</math>.
+
8)
 +
;הוכחה
 +
כיון שנתון כי <math>a_n</math> חיובית, גם <math>\dfrac1{a_n}</math> חיובית. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים
 +
<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1</math> ולכן הטור המבוקש מתכנס :)
  
<math>f(2)=2^{6}</math>. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל:
+
==חלק ב'==
 +
9)
  
<math>y=2^{6}+2^{6}\cdot (3ln2+3)(x-2)= 192(x-2)(1+ln(2))+64</math>.
+
<math>\begin{align}f(x)&=x^{3x}\\f'(x)&=\frac{d}{dx}(x^{3x})=\frac{d}{dx}\big(e^{3x\ln(x)}\big)=e^{3x\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\big(3x\ln(x)\big)=3x^{3x}\cdot\big(\ln(x)+1\big)\end{align}</math>
  
 +
נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: <math>f'(2)=3\cdot2^6\big(\ln(2)+1\big)=192\big(1+\ln(2)\big)</math> .
  
10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה ל- <math>\sum \frac{(-1)^n(3+\frac{1}{n})^n}{(1+\frac{1}{n})^{n^2}}</math>.
+
<math>f(2)=64</math>. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל:
  
נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math>\frac{(3+\frac{1}{n})}{(1+\frac{1}{n})^{n}}</math>.
+
<math>y=64+192\big(1+\ln(2)\big)(x-2)=192\big(1+\ln(2)\big)x+64-384\big(\ln(2)+1\big)</math> .
  
מתקיים <math>\lim_{n \to \infty }\frac{(3+\frac{1}{n})}{(1+\frac{1}{n})^{n}}=\frac{3}{e}>1</math>, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).
 
  
 +
10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}\right)^n</math> .
  
11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה - <math> (f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c). </math>
+
נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של <math>\dfrac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}</math> .
  
לכן הנגזרת המבוקשת היא <math>(f(f(f(x))))'=(f\circ f(f(x)))'=(f\circ g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)=f'(f(f(x)))\cdot (f(f(x)))'=f'(f(f(x)))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x)</math>.
+
מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\frac3e>1</math> , ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).
  
נציב את הנקודה הנתונה: <math>f'(f(f(0)))\cdot f'(f(0))\cdot f'(0)=f'(f(0))\cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8</math>. לכן בסה"כ '''8'''.
 
  
דוגמה פשוטה היא <math>2x</math>.
+
11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה - <math>(f\circ g)'(c)=f'\big(g(c)\big)\cdot g'(c)</math>
  
 +
לכן הנגזרת המבוקשת היא
  
== חלק ג' ==
+
<math>\begin{align}\frac{d}{dx}\Big(f\big(f\big(f(x)\big)\big)\Big)&=\frac{d}{dx}\Big(f\circ f\big(f(x)\big)\Big)\\&=\frac{d}{dx}\big(f\circ g(x)\big)\\&=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot\frac{d}{dx}\Big(f\big(f(x)\big)\Big)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot f'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)\end{align}</math>
  
12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל<math>x_n</math> תת סדרה מתכנסת <math>\left \{ x_{n_k} \right \}</math>. נסמן גבולה ב-<math>L</math>. היא מקיימת את הדרוש, שכן
+
נציב את הנקודה הנתונה: <math>f'\big(f(f(0))\big)\cdot f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)=f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8</math> .
  
<math>\lim_{k \to \infty } x_{n_k}=\lim_{k \to \infty } x_{n_{k+1}}=L</math> ולכן לפי אריתמטיקת גבולות מתקיים:
+
דוגמא פשוטה היא <math>2x</math> .
  
<math>\lim_{k \to \infty } x_{n_{k+1}}-x_{n_k}=L-L=0</math> כנדרש.
 
  
 +
==חלק ג'==
 +
12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל- <math>x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>\left\{x_{n_k}\right\}</math> . נסמן את גבולה <math>L</math> .
  
 +
היא מקיימת את הדרוש, שכן
  
13) היה בשיעורי הבית. (מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)
+
<math>\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\lim_{k\to\infty}x_{n_{k+1}}=L</math>
  
14 זלצמן וינץ) הוכחה: ידוע שהרכבת פונ' רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.
+
ולכן לפי אריתמטיקת גבולות מתקיים
  
<math>sinx, \sqrt{x}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>sin\circ \sqrt{x}</math> רבמ"ש.
+
<math>\lim_{k\to\infty}\Big[x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\Big]=L-L=0</math> כנדרש.
  
  
14 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}, h(x)=\frac{1}{x}</math>.
 
  
מתקיים: <math>g'(x)=(\frac{f(x)}{x})'=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}</math> וגם <math>
+
13) היה בשיעורי הבית. (מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)
h'(x)=-\frac{1}{x^2}</math>.
+
  
  
כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל:
+
14 זלצמן וינץ)
 +
;הוכחה
 +
ידוע שהרכבת פונקציות רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.
  
 +
<math>\sin(x),\sqrt{x}</math> הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה <math>\sin\circ\sqrt{x}</math> רבמ"ש.
  
  
קיימת נקודה <math>c \in (x_1,x_2)</math> שבה מתקיים:<math>\frac{g'(c)}{h'(c)} =\frac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}</math>.
+
14 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות <math>g(x)=\dfrac{f(x)}{x},h(x)=\dfrac1x</math> .
 +
 
 +
מתקיים: <math>g'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)=\dfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}</math> וגם <math>h'(x)=-\dfrac1{x^2}</math> .
 +
 
 +
 
 +
כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל:
 +
 
 +
קיימת נקודה <math>c\in(x_1,x_2)</math> עבורה מתקיים <math>\dfrac{g'(c)}{h'(c)}=\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}</math> .
  
נפשט את שני אגפי השוויון הקודם: <math>\frac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}=\frac{\frac{f(x_2)}{x_2}-\frac{f(x_1)}{x_1}}{\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}}=\frac{\frac{x_1f(x_2)-f(x_1)x_2}{x_1x_2}}{\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}}=\frac{x_1f(x_2)-f(x_1)x_2}{x_1-x_2}</math>
+
נפשט את שני אגפי השוויון הקודם: <math>\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}=\dfrac{\dfrac{f(x_2)}{x_2}-\dfrac{f(x_1)}{x_1}}{\dfrac1{x_2}-\dfrac1{x_1}}=\dfrac{\dfrac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1x_2}}{\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}}=\dfrac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>
  
ובאגף השני - <math>\frac{g'(c)}{h'(c)} =\frac{\frac{cf'(c)-f(c)}{c^2}}{-\frac{1}{c^2}}=-(cf'(c)-f(c))
+
ובאגף השני - <math>\dfrac{g'(c)}{h'(c)}=\dfrac{\dfrac{c\cdot f'(c)-f(c)}{c^2}}{-\dfrac1{c^2}}=f(c)-c\cdot f'(c)</math>
</math>
+
  
 
ובסך הכל קיבלנו את הדרוש:
 
ובסך הכל קיבלנו את הדרוש:
  
<math>-(cf'(c)-f(c))=\frac{x_1f(x_2)-f(x_1)x_2}{x_1-x_2}\Rightarrow f(c)-cf'(c)=\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>
+
<math>f(c)-c\cdot f'(c)=\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}</math>
  
<math>\blacksquare </math>
+
<math>\blacksquare</math>

גרסה אחרונה מ־06:03, 10 בפברואר 2017

(המבחן )

חלק א

1) נכון. זאת ההגדרה.


2) נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: כיון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקציה טריויאלית - מוסיפים אברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס על-פי הגדרה.


3)

הוכחה

יהי \varepsilon>0 .

\begin{align}\lim_{n\to\infty}\Big[a_n+b_n\Big]=a+b\ \Rightarrow\ \exists N_1\in\N:\forall n>N_1\to\Big|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\varepsilon\\\lim_{n\to\infty}\Big[a_n-b_n\Big]=a-b\ \Rightarrow\ \exists N_2\in\N:\forall n>N_2\to\Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\varepsilon\end{align}

נגדיר: N=\max\{N_1,N_2\} .

אז לכל n>N מתקיים

\begin{align}\Big|a_n+b_n-(a+b)\Big|<\varepsilon\and\Big|a_n-b_n-(a-b)\Big|<\varepsilon\\\Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|<\varepsilon\and\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<\varepsilon\end{align}

נחבר את שני אי-השוויונות: \Big|(a_n-a)+(b_n-b)\Big|+\Big|(a_n-a)-(b_n-b)\Big|<2\varepsilon

אבל לפי אי-שוויון המשולש

\begin{align}2|a_n-a|=\big|2(a_n-a)\big|&=\Big|(a_n-a)+(b_n-b)+(a_n-a)-(b_n-b)\Big|\\&\le\Big|a_n-a+(b_n-b)\Big|+\Big|a_n-a-(b_n-b)\Big|<2\varepsilon\end{align}

נצמצם ב-2 ונקבל \lim\limits_{n\to\infty}a_n=a . כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור b .

מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))

דרך טיפה יותר אלגנטית

\displaystyle\begin{align}a_n=\dfrac{(a_n+b_n)+(a_n-b_n)}{2}&,&b_n&=\dfrac{(a_n+b_n)-(a_n-b_n)}{2}\\\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=a&,&\lim_{n\to\infty}b_n&=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=b\end{align}


4)

הוכחה

הטור מתכנס לפי הנתון ל-0. ע"י שינוי סדר אברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימאן אכן קיים טור כדרוש.


5) הטענה נכונה. הוכחה: יהי \varepsilon>0 (התחלה מקורית).

מהנתון על f נובע \exists M\in\R:\forall x\in(a,b):|f(x)|<M .

מהנתון על g נובע \exists\delta>0:\forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to|g(x)|<\dfrac{\varepsilon}{M} .

כעת, עבור \delta הנ"ל, \forall x\in(a,b):-\delta<x<0\to\big|f(x)g(x)\big|=|f(x)|\cdot|g(x)|<M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon , כנדרש.


6)

הוכחה

רוצים להראות שהפונקציה f|_{\R^+} היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)

יהי y>0 . נגדיר h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y .

h(0)=-y<0 , ואילו מכיון ש- \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=\infty , קיימת נקודה d עבורה h(d)>0 . לפי משפט ערך הביניים קיימת נקודה x\in(0,d) עבורה h(x)=0 , כלומר f(x)=y !


7) הפרכה: נתבונן בפונקציה f(x)=\begin{cases}1&x\ge3\\-1&x<3\end{cases} בקטע I=\R .

ברור כי f אינה רציפה ב-3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל f^2 היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.


8)

הוכחה

כיון שנתון כי a_n חיובית, גם \dfrac1{a_n} חיובית. נפעיל את מבחן קושי הגבולי על הטור המבוקש: מתקיים \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{a_n}}<1 ולכן הטור המבוקש מתכנס :)

חלק ב'

9)

\begin{align}f(x)&=x^{3x}\\f'(x)&=\frac{d}{dx}(x^{3x})=\frac{d}{dx}\big(e^{3x\ln(x)}\big)=e^{3x\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\big(3x\ln(x)\big)=3x^{3x}\cdot\big(\ln(x)+1\big)\end{align}

נציב את הנקודה הנתונה למציאת השיפוע: f'(2)=3\cdot2^6\big(\ln(2)+1\big)=192\big(1+\ln(2)\big) .

f(2)=64. נציב בנוסחה למשוואת ישר עפ"י נקודה ושיפוע, ונקבל:

y=64+192\big(1+\ln(2)\big)(x-2)=192\big(1+\ln(2)\big)x+64-384\big(\ln(2)+1\big) .


10) נראה שהטור מתבדר. ברור שהטור הנתון שווה \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}\right)^n .

נבדוק התכנסות בהחלט: לפי מבחן קושי - צריך לבדוק את הגבול העליון של \dfrac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n} .

מתקיים \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3+\frac1n}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\frac3e>1 , ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. יתרה מזאת, הטור המקורי מתבדר לפי התוצאה שהוכחנו על מבחן קושי (ראה פתרון מבחן קודם).


11) השאלה אמנם נראית מפחידה, אבל זה בסך הכל כלל השרשרת: ניזכר בנוסחה - (f\circ g)'(c)=f'\big(g(c)\big)\cdot g'(c)

לכן הנגזרת המבוקשת היא

\begin{align}\frac{d}{dx}\Big(f\big(f\big(f(x)\big)\big)\Big)&=\frac{d}{dx}\Big(f\circ f\big(f(x)\big)\Big)\\&=\frac{d}{dx}\big(f\circ g(x)\big)\\&=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot\frac{d}{dx}\Big(f\big(f(x)\big)\Big)\\&=f'\big(f(f(x))\big)\cdot f'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)\end{align}

נציב את הנקודה הנתונה: f'\big(f(f(0))\big)\cdot f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)=f'\big(f(0)\big)\cdot f'(0)\cdot f'(0)=f'(0)^3=2^3=8 .

דוגמא פשוטה היא 2x .


חלק ג'

12) לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל- x_n תת-סדרה מתכנסת \left\{x_{n_k}\right\} . נסמן את גבולה L .

היא מקיימת את הדרוש, שכן

\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\lim_{k\to\infty}x_{n_{k+1}}=L

ולכן לפי אריתמטיקת גבולות מתקיים

\lim_{k\to\infty}\Big[x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\Big]=L-L=0 כנדרש.


13) היה בשיעורי הבית. (מניחים בשלילה, משפט ערך הביניים וצפיפות המספרים הממשיים)


14 זלצמן וינץ)

הוכחה

ידוע שהרכבת פונקציות רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.

\sin(x),\sqrt{x} הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה \sin\circ\sqrt{x} רבמ"ש.


14 אגרנובסקי, דונין והורוביץ) נתבונן בפונקציות g(x)=\dfrac{f(x)}{x},h(x)=\dfrac1x .

מתקיים: g'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)=\dfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2} וגם h'(x)=-\dfrac1{x^2} .


כעת, נפעיל את משפט הערך הממוצע המוכלל:

קיימת נקודה c\in(x_1,x_2) עבורה מתקיים \dfrac{g'(c)}{h'(c)}=\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)} .

נפשט את שני אגפי השוויון הקודם: \dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}=\dfrac{\dfrac{f(x_2)}{x_2}-\dfrac{f(x_1)}{x_1}}{\dfrac1{x_2}-\dfrac1{x_1}}=\dfrac{\dfrac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1x_2}}{\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}}=\dfrac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}

ובאגף השני - \dfrac{g'(c)}{h'(c)}=\dfrac{\dfrac{c\cdot f'(c)-f(c)}{c^2}}{-\dfrac1{c^2}}=f(c)-c\cdot f'(c)

ובסך הכל קיבלנו את הדרוש:

f(c)-c\cdot f'(c)=\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}

\blacksquare