פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,

1) נכון. זאת ההגדרה.

2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.

6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה $f|_{R^+}$ היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)

יהי $y>0$. נגדיר $h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y$. $h(0)=-y<0$, ואילו מכיוון ש $\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty$, קיימת נקודה d עבורה $h(d)>0$. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה $x$ בקטע $(0,d)$ שבה $h(x)=0$, כלומר $f(x)=y$!

7) הפרכה: נתבונן בפונ' f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 &x\geq 3 \\ -1 & x<3 \end{matrix}\right בקטע $I=\mathbb{R}$. ברור ש$f$ אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל $f^2$ היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.