פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1) נכון. זאת ההגדרה.

2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.


5) הוכחה: יהי  \epsilon>0.

\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon

\lim_{n \to \infty }{}a_n-b_n=a-b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n-b_n-(a-b)|<\epsilon )

N\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}.

6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה f|_{R^+} היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)

יהי y>0. נגדיר h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y. h(0)=-y<0, ואילו מכיוון ש \lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty 
, קיימת נקודה d עבורה h(d)>0. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה x בקטע (0,d) שבה h(x)=0, כלומר f(x)=y!


7) הפרכה: נתבונן בפונ'  
f(x)=\left\{\begin{matrix}
1 &x\geq 3 \\ 
-1 & x<3
\end{matrix}\right.
בקטע I=\mathbb{R}.

ברור שf אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל f^2 היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.