פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,

1) נכון. זאת ההגדרה.

2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.

5) הוכחה: יהי $\epsilon>0$.

$\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon$

$\lim_{n \to \infty }{}a_n-b_n=a-b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n-b_n-(a-b)|<\epsilon )$

נגדיר: $N\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}$.

אז לכל $n \geq N$ מתקיים $|a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon \wedge |a_n-b_n-(a-b)|<\epsilon )$, כלומר $|a_n-a+b_n-b|<\epsilon \wedge |a_n-a-(b_n-b)|<\epsilon$,

נחבר את שני האי-שוויונים: $|a_n-a+b_n-b|+|a_n-a-(b_n-b)|<2\epsilon$

אבל לפי אי-שוויון המשולש $2|a_n-a|=|2(a_n-a)|=|a_n-a+b_n-b+a_n-a-(b_n-b)| \leq |a_n-a+b_n-b|+|a_n-a-(b_n-b)|<2\epsilon$. נצמצם ב2 ונקבל ש$\lim_{n \to \infty }{a_n}=a$. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור b.

מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))

6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה $f|_{R^+}$ היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)

יהי $y>0$. נגדיר $h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y$. $h(0)=-y<0$, ואילו מכיוון ש $\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty$, קיימת נקודה d עבורה $h(d)>0$. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה $x$ בקטע $(0,d)$ שבה $h(x)=0$, כלומר $f(x)=y$!

7) הפרכה: נתבונן בפונ' $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 &x\geq 3 \\ -1 & x<3 \end{matrix}\right.$ בקטע $I=\mathbb{R}$.

ברור ש$f$ אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל $f^2$ היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.