השינוי האחרון נעשה בֹ־18 בדצמבר 2011 ב־10:41

פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4

גרסה מ־10:41, 18 בדצמבר 2011 מאת עמנואל (שיחה | תרומות)

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

נמצא פ"א: p_A(x)=\begin{vmatrix} x-1 & -1 & -1\\ 0 & x-1 & -1\\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}=(x-1)^3 כי דטר' של מטר' משולשית היא מכפלת איברי האלכסון.


קל להראות שזהו גם הפ"מ של A.

(שהרי A-I=J_3(0) - והפ"מ מחלק את הפ"א, לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה של חזקה של x-1, והרי ידוע שבלוק ז'ורדן נילפוטנטי הוא נילפ' מאינדקס השווה לסדר שלו (גיבוב מילים מיותרות - קל לבדוק ישירות וזהו)).


קיבלנו שהמטריצה A-I נילפ' מאינדקס 3, ולכן לפי משפט שהוכחנו הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות. אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו שA-I דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.


לפי הגדרת דמיון המטריצות, קיימת מטר' הפיכה P כך ש: P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=J_3(0)

נעביר אגפים ונקבל:P^{-1}AP=I+J_3(0)


קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}


כנדרש! :)