פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5

$p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)$

הפ"מ מחלק את הפ"א, ולכן ישנן 9 אפשרויות עבור הפ"מ (באופן כללי - מס' הפ"מ האפשריים בהינתן פ"א הוא כפל כל המעריכים שבפ"א - קומבינטוריקה פשוטה). מדובר בבדיקה מייגעת ולא מתוחכמת, אבל כנראה שאין ברירה -- נבדוק את כל האפשרויות.

נזכור ראשית שהחזקה של הגורם $\ x-2$ בפולינום המינימלי של A = גודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע"ע 2 בצורת ז'ורדן של המטריצה = 1; לכן מופיע בלוק ז'ורדן של 2 מסדר 1. אבל הריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 2 בצורת ז'ורדן=1, ולכן בכל צורות ז'ורדן האפשריות יש בדיוק בלוק אחד שמתאים ל-2, והוא מסדר 1.

באופן דומה הריבוי האלגברי של הע"ע 0 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 0 בצורת ז'ורדן=3, ו- הריבוי האלגברי של הע"ע 3 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 3 בצורת ז'ורדן=3.

כעת, עבור כל פ"מ, נמקם ראשית את $J_1(2)$ בצורת הז'ורדן, ואז נוכל להתעלם מהע"ע 2, ונשים בכל פעם את הבלוקים שחייבים להופיע לפי החזקה המתאימה בפ"מ, ונראה כמה חופש בחירה נותר לנו.

1) עבור פ"מ $M_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)=p_A(x)$, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. הרי אנו יודעים שבצורת ז'ורדן חייב להופיע בלוק המתאים לע"ע i, מסדר השווה לחזקה שלו בפ"מ - ונקבל שהמטר' שקיבלנו היא כבר מסדר $7\times7$, ולכן היא צורת ז'ורדן.

2) עבור פ"מ $M_A(x)=x^{3}(x-1)^{2}(x-2)$, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

3) עבור פ"מ $M_A(x)=x^{2}(x-1)^{3}(x-2)$, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

4) עבור פ"מ $M_A(x)=x^{2}(x-1)^{2}(x-2)$, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

5) עבור פ"מ $M_A(x)=x^{2}(x-1)(x-2)$, ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 1.

6) עבור פ"מ $M_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)$, ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 0. בכך ענינו על סעיף ב'.

7) עבור פ"מ $M_A(x)=x^{3}(x-1)(x-2)$, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

8) עבור פ"מ $M_A(x)=x(x-1)^{3}(x-2)$, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

9) לבסוף, עבור הפ"מ $M_A(x)=x(x-1)(x-2)$, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד, שכן כל הבלוקים הם מסדר 1, והרי המספר של הבלוקים המתאימים לכל ע"ע נקבע חד-משמעית ע"י הפ"א.

נותר רק לסכם את המספרים שקיבלנו (ולהוסיף פירוט אם המרצים יבקשו, אבל זה באמת תהליך רפטטיבי), ולקבל $7+2*2=11$ צורות ז'ורדן אפשריות!

למרצים: השאלה במבחן הדוגמא המתאים לאותה השנה זהה לחלוטין עד כדי מספרים שונים. האם צריך לפתור גם אותה?

הערה: בפתרון הנחתי שצורת ז'ורדן שמתקבלת מסדר שונה של הבלוקים באלכסון היא זהה. (זה בסדר כי הן דומות; אם רוצים דווקא להחשיב אותן בנפרד, צריך להכפיל את האפשרויות שבכל מקרה ב(עצרת של (מס' הבלוקים שבצורת ז'ורדן)))