פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3

ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. נראה של A,B יש צורת ז'ורדן שונה, ולכן הן אינן דומות:

נז'רדן את $A$ :

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}$

נמצא פ"א:

$p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x & -1 &0 & 0\\ 0& x &0 &0 \\ 0 & 0 & x&-1 \\ 0& 0 &0 &x \\ \end{vmatrix}=x^4$

שכן דטר' של מטר' משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי.

כעת, $A^2=0$ ולכן $A$ נילפוטנטית מסדר 2, והפ"מ שלה הוא $m_A(x)=x^2$ .

דרגת המטריצה היא 2 (מס' השורות הלא אפסיות, אחרי שמחליפים שורות והיא הופכת למטריצת מדרגות), והיא נילפוטנטית, ולכן $n-rank(A)=4-2=2$ הוא מס' הבלוקים בצורת ז'ורדן. לכן צורת ז'ורדן של $A$ היא

$\begin{pmatrix} J_2 & \\ & J_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 \\ 0& 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &1\\ 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$ .

כעת נז'רדן את $B$ :

$B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}$

נמצא פ"א: $p_B(x)=|xI-B|=\begin{vmatrix} x & -1 &0 & 0\\ 0& x &-1 &0 \\ 0 & 0 & x&0 \\ 0& 0 &0 &x \\ \end{vmatrix}=x^4$

כעת נמצא את אינדקס הנילפוטנטיות של B, ובכך גם את הפ"מ שלה:

$B^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 &1 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}\neq 0_{4 \times 4}$

ואילו $B^3=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}^3=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 &1 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}=0_{4 \times 4}$

ולכן B נילפ' מאינדקס 3, והפ"מ שלה הוא $m_B(x)=x^3$ .

לכן בצורת ז'ורדן של $B$ יופיע בלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3, והמטריצה היא מסדר 4; לכן צורת ז'ורדן של A היא $\begin{pmatrix} J_3 & \\ & J_1 \end{pmatrix}$ .