הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9"

גרסה מ־11:28, 30 בדצמבר 2011

למה- יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד: ניסוח- יהי $T:v->v$ אופרטור שהפ"א שלו הוא חזקה של x-\lambda), אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים. הוכחה- בשלילה, נניח של- $T$ יש הצגה חרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \lambdaI לא מוכרת): T-\lambdaI , שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.

יהי $B={v_1,...,v_n}$ בסיס של $F^n$ , המז'רדן את הט"ל $A:F^n->F^n$ המוגדרת ע"י $A(v)=Av$ .

יהי $\lambda$ ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- $\lambda$ , כלומר מהצורה $J_m(\lambda)$ , יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל- $\lambda$ יהיו הראשונים בסכום. אזי $[T]_b=\begin{pmatrix} A_\lambda & \\ & A' \end{pmatrix}=A_\lambda\oplus A'$ , כאשר $A_\lambda$ היא המטריצה האלכסונית-בלוקים של כל הבלוקים מהצורה $J_m(\lambda)$ , ואילו $A'$ היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן מהצורה $J_m(\mu), \mu \neq \lambda$ .

יהי k הר"א של $\lambda$ , אזי $A_\lambda$ היא מסדר $k \times k$ , ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)

ידוע שמתקיים $A_\lambda=[T]_{\left \{ v1,...,vk \right \}}$ , כאשר $span{\left \{ v1,...,vk \right \}}$ אינווריאנטי תחת $T$ .

לכן, $A_\lambda$ היא צורת ז'ורדן של האופרטור $T|_{span{\left \{ v1,...,vk \right \}}}$ , והפ"א שלו הוא חזקה של $x-\lambda$ . לפי הלמה, מספר הבלוקים $J_m(\lambda)$ מכל גודל $m$ נקבע באופן יחיד ע"י $T$ .

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-יהי <math>B</math> בסיס של <math>F^n</math>, המז'רדן את הט"ל <math>A:F^n->F^n</math> המוגדרת ע"י <math>A(v)=Av</math>.
+למה- יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד:
+ניסוח- יהי <math>T:v->v</math> אופרטור שהפ"א שלו הוא חזקה של [[x-\lambda)]], אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
+הוכחה- בשלילה, נניח של-<math>T</math> יש הצגה חרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור <math>T-\lambdaI</math>, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.
+יהי <math>B={v_1,...,v_n}</math> בסיס של <math>F^n</math>, המז'רדן את הט"ל <math>A:F^n->F^n</math> המוגדרת ע"י <math>A(v)=Av</math>.
 יהי <math>\lambda</math> ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- <math>\lambda</math>, כלומר מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-<math>\lambda</math> יהיו הראשונים בסכום.
@@ שורה 6: / שורה 10: @@
   & A'
 \end{pmatrix}=A_\lambda\oplus A'</math>, כאשר <math>A_\lambda</math> היא המטריצה האלכסונית-בלוקים של כל הבלוקים מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, ואילו <math>A'</math> היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן מהצורה <math>J_m(\mu), \mu \neq \lambda</math>.
-יהי k הר"א של <math>\lambda</math>, אזי <math>A_\lambda</math> היא מסדר <math>k \times k</math>
+יהי k הר"א של <math>\lambda</math>, אזי <math>A_\lambda</math> היא מסדר <math>k \times k</math>, ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)
+ידוע שמתקיים <math>A_\lambda=[T]_{\left \{ v1,...,vk \right \}}</math>, כאשר <math>span{\left \{ v1,...,vk \right \}}</math> אינווריאנטי תחת <math>T</math>.
+לכן, <math>A_\lambda</math> היא צורת ז'ורדן של האופרטור <math>T|_{span{\left \{ v1,...,vk \right \}}}</math>, והפ"א שלו הוא חזקה של <math>x-\lambda</math>. לפי הלמה, מספר הבלוקים <math>J_m(\lambda)</math> מכל גודל <math>m</math> נקבע באופן יחיד ע"י <math>T</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9"

גרסה מ־11:28, 30 בדצמבר 2011

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים