פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9

למה- יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד: ניסוח- יהי $T:v->v$ אופרטור שהפ"א שלו הוא חזקה של x-\lambda), אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים. הוכחה- בשלילה, נניח של-$T$ יש הצגה חרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \lambdaI לא מוכרת): T-\lambdaI , שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.

יהי $B={v_1,...,v_n}$ בסיס של $F^n$, המז'רדן את הט"ל $A:F^n->F^n$ המוגדרת ע"י $A(v)=Av$.

יהי $\lambda$ ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- $\lambda$, כלומר מהצורה $J_m(\lambda)$, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-$\lambda$ יהיו הראשונים בסכום. אזי $[T]_b=\begin{pmatrix} A_\lambda & \\ & A' \end{pmatrix}=A_\lambda\oplus A'$, כאשר $A_\lambda$ היא המטריצה האלכסונית-בלוקים של כל הבלוקים מהצורה $J_m(\lambda)$, ואילו $A'$ היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן מהצורה $J_m(\mu), \mu \neq \lambda$.

יהי k הר"א של $\lambda$, אזי $A_\lambda$ היא מסדר $k \times k$, ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)

ידוע שמתקיים $A_\lambda=[T]_{\left \{ v1,...,vk \right \}}$, כאשר $span{\left \{ v1,...,vk \right \}}$ אינווריאנטי תחת $T$.

לכן, $A_\lambda$ היא צורת ז'ורדן של האופרטור $T|_{span{\left \{ v1,...,vk \right \}}}$, והפ"א שלו הוא חזקה של $x-\lambda$. לפי הלמה, מספר הבלוקים $J_m(\lambda)$ מכל גודל $m$ נקבע באופן יחיד ע"י $T$.