פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4

הערה: 11 הוא ראשוני, ולכן $\mathbb{Z}_{11}$ הוא שדה. לכן ניתן להשתמש בכל הכלים שפיתחנו בקורס עבור שדה כללי. בנושא ז'ורדן כל מה שפיתחנו נכון ללא תלות בשדה מעליו עובדים (בניגוד לאורתוגונליות).

ידוע מטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. לכן מספיק לחשב את צורת ז'ורדן של כל אחת מהמטריצות מעל $\mathbb{Z}_{11}$ ולבדוק אם המטריצות שהתקבלו זהות (עד כדי שינוי סדר הבלוקים).

נסמן $A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 & 4 &5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} 6 &5 &3 \\ 0 & 4 &2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

נז'רדן את $A$ .

נמצא פ"א: $p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x-1 &-2 &-3 \\ 0 & x-4 &-5 \\ 0 & 0 & x-6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x-1 &9 & 8 \\ 0 & x-4 &6 \\ 0 & 0 & x-6 \end{vmatrix}=(x-1)(x-4)(x-6)$

כי דטרמיננטה של מטר' משולשית היא מכפלת אברי האלכסון הראשי.

לכן הע"ע הם 1,4,6.

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, לכן הוא שווה לפ"מ של A.

קיבלנו שצורת ז'ורדן של A היא: $\begin{pmatrix} J_1(1) & & \\ & J_1(4)& \\ & & J_1(6) \end{pmatrix}$ .

כעת נז'רדן את $B$ .

נמצא פ"א: $p_B(x)=|xI-B|=\begin{vmatrix} x-6 &-5 &-3 \\ 0 & x-4 &-2 \\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}=(x-1)(x-4)(x-6)$ .

כי דטרמיננטה של מטר' משולשית היא מכפלת אברי האלכסון הראשי.

לכן הע"ע הם 1,4,6.

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, לכן הוא שווה לפ"מ של B.

קיבלנו שצורת ז'ורדן של B היא: $\begin{pmatrix} J_1(1) & & \\ & J_1(4)& \\ & & J_1(6) \end{pmatrix}$ .

צורות ז'ורדן זהות, ולכן המטריצות הנתונות דומות.

פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4

Math-Wiki