הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5"

גרסה מ־16:43, 28 בדצמבר 2011

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

$A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$

אנו יודעים כי מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי שינוי סדר הבלוקים).

נחשב את צורת ג'ורדן של כל אחחת מהמטריצות הנ"ל.

$D$ . היא אלכסונית, ובפרט כבר בצורת ג'ורדן. לכן, צורת ג'ורדן שלה היא $\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$ .

$p_{A}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &-8 \\ -2&x-2 \end{vmatrix} =(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$ קיבלנו שיש ל $A$ שני ערכים עצמיים שונים $6,-2$ , ולכן היא לכסינה, ודומה למטריצה $\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$ .

$p_{C}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &-4 \\ -4 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$ ולכן כמו במקרה הקודם, צורת ג'ורדן של $C$ היא $\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$ .

נחשב צורת ג'ורדן של $B$ :

$p_{B}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &0 \\ -2&x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2}$ כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של $B$ . קל לראות כי $m_{B}(x)=(x-2)^{2}$ (שכן $(B-2I)\neq 0$ ) ולכן צורת ג'ורדן של $B$ היא $\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 0 &2 \end{pmatrix}$

בסה"כ קבלנו כי $A\sim C\sim D$ ו $B$ אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.

@@ שורה 15: / שורה 15: @@
 \end{pmatrix}</math>
-אנו יודעים כי מטריצות בעלות צורת ג'ורדן '''תיקון:'''(עמנואל, הסתכלו על ההיסטוריה כדי לראות הגרסה הקודמת) זהה (עד כדי שינוי סדר הבלוקים) הינן דומות, לכן נחשב את מטריצות הגו'רדן של המטריצות הנ"ל.
+אנו יודעים כי מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי שינוי סדר הבלוקים).
-נתחיל במטריצה הקלה ביותר, <math>D</math>. היא אלכסונית, ולכן <math>P_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> וקל לראות כי גם <math>M_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן <math>J_{D}=\begin{pmatrix}
+נחשב את צורת ג'ורדן של כל אחחת מהמטריצות הנ"ל.
+<math>D</math>. היא אלכסונית, ובפרט '''כבר''' בצורת ג'ורדן. לכן, צורת ג'ורדן שלה היא
+<math>\begin{pmatrix}
 &0 \\
 &-2
-\end{pmatrix}</math>
+\end{pmatrix}</math>.
-נחשב את צורת הג'ורדן ('''תיקון''') של<math> A</math>: <math>P_{A}(x)=\begin{vmatrix}
+<math>
+p_{A}(x)=\begin{vmatrix}
 x-2 &-8 \\
 -2&x-2
-\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math> ונקבל כי גם  <math>M_{A}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן גם <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
+\end{vmatrix}
+=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math>
+קיבלנו שיש ל <math>A</math> שני ערכים עצמיים שונים
+<math>6,-2</math>, ולכן היא לכסינה, ודומה למטריצה
+<math>\begin{pmatrix}
 &0 \\
 &-2
-\end{pmatrix}</math>
+\end{pmatrix}</math>.
-נחשב את צורת הגו'רדן של<math> B</math>: <math>P_{B}(x)=\begin{vmatrix}
+<math>p_{C}(x)=\begin{vmatrix}
+x-2 &-4 \\
+-4 &x-2
+\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math>
+ולכן כמו במקרה הקודם, צורת ג'ורדן של <math>C</math>
+היא
+<math>\begin{pmatrix}
+&0 \\
+&-2
+\end{pmatrix}</math>.
+נחשב צורת ג'ורדן של <math>B</math>:
+<math>p_{B}(x)=\begin{vmatrix}
 x-2 &0 \\
 -2&x-2
-\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2}</math> כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של <math>B</math>. קל לראות כי <math>M_{B}(x)=(x-2)^{2}</math> (שכן <math>(B-2I)\neq 0</math> ) ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
+\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2}</math>
+כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של <math>B</math>.
+קל לראות כי <math>m_{B}(x)=(x-2)^{2}</math> (שכן <math>(B-2I)\neq 0</math>)
+ולכן צורת ג'ורדן של <math>B</math> היא
+<math>\begin{pmatrix}
 &1 \\
 &2
 \end{pmatrix}</math>
-וכעת נחשב את צורת הג'ורדן של ('''תיקון נוסף:''') <math>C</math> : <math>P_{C}(x)=\begin{vmatrix}
+בסה"כ קבלנו כי<math> A\sim C\sim D</math> ו <math>B</math> אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.
-x-2 &-4 \\
--4 &x-2
-\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math> ולכן גם <math>M_{B}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
-&0 \\
-&-2
-\end{pmatrix}</math>
-ובסה"כ קבלנו כי<math> A\sim C\sim D</math> ו <math>B</math> אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5"

גרסה מ־16:43, 28 בדצמבר 2011

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים