הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5"

גרסה מ־16:46, 28 בדצמבר 2011

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

$A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$

אנו יודעים כי מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי שינוי סדר הבלוקים).

נחשב את צורת ג'ורדן של כל אחחת מהמטריצות הנ"ל.

$D$ היא אלכסונית, ובפרט כבר בצורת ג'ורדן. לכן, צורת ג'ורדן שלה היא $\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$ .

$.p_{A}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &-8 \\ -2&x-2 \end{vmatrix} =(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$

קיבלנו שיש ל $A$ שני ערכים עצמיים שונים $6,-2$ , ולכן היא לכסינה, ודומה למטריצה $\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$ .

$p_{C}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &-4 \\ -4 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$ ולכן כמו במקרה הקודם, צורת ג'ורדן של $C$ היא $\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$ .

נחשב צורת ג'ורדן של $B$ :

$p_{B}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &0 \\ -2&x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2}$ כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של $B$ . קל לראות כי $m_{B}(x)=(x-2)^{2}$ (שכן $(B-2I)\neq 0$ ) ולכן צורת ג'ורדן של $B$ היא $\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 0 &2 \end{pmatrix}$

בסה"כ קבלנו כי $A\sim C\sim D$ ו $B$ אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5"

גרסה מ־16:46, 28 בדצמבר 2011

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 26: / שורה 26: @@
 <math>
-p_{A}(x)=\begin{vmatrix.}
+.p_{A}(x)=\begin{vmatrix}
 x-2 &-8 \\
 -2&x-2
 \end{vmatrix}
-=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math>
+=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)
+</math>
 קיבלנו שיש ל <math>A</math> שני ערכים עצמיים שונים