פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

$A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$

אנו יודעים כי מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי שינוי סדר הבלוקים).

נחשב את צורת ג'ורדן של כל אחחת מהמטריצות הנ"ל.

$D$. היא אלכסונית, ובפרט כבר בצורת ג'ורדן. לכן, צורת ג'ורדן שלה היא $\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$.

$p_{A}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &-8 \\ -2&x-2 \end{vmatrix} =(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$ קיבלנו שיש ל $A$ שני ערכים עצמיים שונים $6,-2$, ולכן היא לכסינה, ודומה למטריצה $\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$.

$p_{C}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &-4 \\ -4 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$ ולכן כמו במקרה הקודם, צורת ג'ורדן של $C$ היא $\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$.

נחשב צורת ג'ורדן של $B$:

$p_{B}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &0 \\ -2&x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2}$ כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של $B$. קל לראות כי $m_{B}(x)=(x-2)^{2}$ (שכן $(B-2I)\neq 0$) ולכן צורת ג'ורדן של $B$ היא $\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 0 &2 \end{pmatrix}$

בסה"כ קבלנו כי$A\sim C\sim D$ ו $B$ אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.