'''פתרון:'''
'''הרעיון בכלליות:'''
נראה שעבור כל צורה של פ"א ופ"מ (בהתאם לאופייני) למטריצות A, B אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות. בגלל שהסדר שלהן קטן יחסית (כי מהחל מסדר 4 המשפט לא מתקיים, אבל אותו רעיון של הוכחה יעבוד עבור סדר 2) אז יש רק צורה אפשרית אחת (עד כדי סדר בלוקים) לכל בחירה של אופייני ומינימלי.
סימונים:
<math>f_{A}(x)</math> הפולינום האופייני של המטריצה A
<math>m_{A}(x)</math> הפולינום המינימלי של המטריצה A
<math>J_{A}</math> צורת הג'ורדן של המטריצה A
<math>J_{m}(\lambda )</math> בלוק ג'ורדן מסדר m המתאים לערך העצמי <math>\lambda </math>
אנו יודעים ש<math>rank(A)=3</math> ולכן גם <math>deg(f_{A})=3</math>
נפצל את הפתרון לכמה מקרים:
'''אם ל<math>f_{A}(x)</math> שלושה שורשים שונים, כלומר שלושה ע"ע שונים.'''
אז לפי משפט, שתי המטריצות לכסינות ודומות למטריצה מהצורה:
<math>\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & 0& 0\\
0& \lambda _{2}&0 \\
0&0 & \lambda _{3}
\end{pmatrix}</math>
ולכן דומות בניהן.
'''אם ל<math>f_{A}(x)</math> שורש אחד, כלומר ע"ע אחד'''
אז <math>A-\lambda I, B-\lambda I</math> (כאשר למדא הוא הע"ע) הן מטריצות נילפוטנטיות ובגלל שכל פולינום מעל <math>\mathbb{C}</math> מתפרק לגורמים לינאריים מתקיים:
<math>f_{A-\lambda I}(x)=(x-\lambda)^{3}=f_{B-\lambda I}(x)</math>
<math>m_{A-\lambda I}(x)=m_{B-\lambda I}(x)</math>
אחרת נקבל שיש שורש שונה מ-<math>\lambda</math> לפולינום האופייני ולכן גם אין ערך עצמי יחיד.
לכן מספיק להראות שעבור כל פ"מ שנבחר יש צורת ג'ורדן אפשרית יחידה ששתי המטריצות יהיו דומות לה:
''*למטה פתרון פשוט יותר''
ניעזר בעובדה שהדרגה של הפ"מ, היא אינדקס הנילפוטנטיות של המטריצה, שהוא הגודל של הבלוק הגדול ביותר בצורת הג'ורדן.
אם <math>deg(m_{A-\lambda I}(x))=1</math> אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 1 ולכן:
<math>J_{A-\lambda I}=J_{1}(0)\oplus J_{1}(0)\oplus J_{1}(0)=0=J_{B-\lambda I}</math>
אם <math>deg(m_{A-\lambda I}(x))=2</math> אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 2 ונותר מקום רק לבלוק ג'ורדן מגודל 1 ולכן:
<math>J_{A-\lambda I}=J_{2}(0)\oplus J_{1}(0)=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0& 0& 0\\
0& 0 & 0
\end{pmatrix}=J_{B-\lambda I}</math>
אם <math>deg(m_{A-\lambda I}(x))=3</math> אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 3 (והוא בעצם כל צורת הג'ורדן):
<math>J_{A-\lambda I}=J_{3}(0)=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0& 0& 1\\
0& 0 & 0
\end{pmatrix}=J_{B-\lambda I}</math>
בסה"כ הראנו שבכל מצב למטריצות <math>A-\lambda I, B-\lambda I</math> אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.
מכאן, קיימת <math>P\in \mathbb{C}^{3x3}</math> הפיכה כך שמתקיים: <math>P^{-1}(A-\lambda I)P=B-\lambda I</math>
<math> P^{-1}AP-\lambda P^{-1}IP=B-\lambda I</math>
<math> P^{-1}AP-\lambda I=B-\lambda I</math>
<math> P^{-1}AP=B</math> ובסה"כ הראנו שהמטריצות A וB דומות.
'''אם ל<math>f_{A}(x)</math> שני שורשים אז בהכרח מתקיים:'''
<math>f_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})</math>
וגם, <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})</math>
או <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})</math>
נראה שוב, שלמטריצות אותה צורת ג'ורדן עבור שני המקרים הללו:
'''מקרה 1:''' <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})</math>
צורת הג'ורדן של המטריצה הנ"ל הינה סכום ישר של צורות ג'ורדן של שתי המטריצות המקיימות את התנאים הבאים:
<math>f_{A_{1}}(x)=(x-\lambda_{1} )^{2},
m_{A_{1}}(x)=(x-\lambda_{1} )</math>
מטריצה כזו הינה מהצורה: <math>\lambda _{1} I=\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & 0\\
0& \lambda _{1}
\end{pmatrix}</math>
והבלוק השני מגודל 1 הינו מהצורה <math>\begin{pmatrix}
\lambda _{2}
\end{pmatrix}</math>
ובסה"כ צורת הג'ורדן של המטריצה הינה: <math>J_{A}=J_{B}=\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & 0& 0\\
0& \lambda _{1} &0 \\
0& 0& \lambda _{2}
\end{pmatrix}</math>
הראנו שמדובר באותה צורת ג'ורדן ולכן המטריצות A וB דומות.
'''מקרה 2:''' <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})</math>
במקרה זה הבלוקים הנוצרים (באופן זהה) הינם: <math>\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & 1\\
0& \lambda _{1} \\
\end{pmatrix}</math>
ו- <math>\begin{pmatrix}
\lambda _{2}
\end{pmatrix}</math>
ולכן צורת הג'ורדן של המטריצה הינה: <math>J_{A}=J_{B}=\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & 1 & 0\\
0& \lambda _{1} & 0\\
0& 0& \lambda _{2}
\end{pmatrix}</math>
בסה"כ, במקרה זה לA וB אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.
'''לסיכום, הראנו שבכל מצב אפשרי המטריצות A וB דומות ומכאן שהן דומות.
מ.ש.ל.'''
== פתרון פשוט יותר ==
(בלי להעביר לצורה נילפוטנטית)
'''הגדרה:'''