פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4

השאלה: נניח שלמטריצות $A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון: אני מאמין שיש פיתרון אלגנטי יותר, אבל כאן יש שימוש בצורת ג'ורדן - אז למה לא?

הרעיון בכלליות: נראה שעבור כל צורה של פ"א ופ"מ (בהתאם לאופייני) למטריצות A, B אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות. בגלל שהסדר שלהן קטן יחסית (כי מהחל מסדר 4 המשפט לא מתקיים, אבל אותו רעיון של הוכחה יעבוד עבור סדר 2) אז יש רק צורה אפשרית אחת (עד כדי סדר בלוקים) לכל בחירה של אופייני ומינימלי.

סימונים:

$f_{A}(x)$ הפולינום האופייני של המטריצה A

$m_{A}(x)$ הפולינום המינימלי של המטריצה A

$J_{A}$ צורת הג'ורדן של המטריצה A

$J_{m}(\lambda )$ בלוק ג'ורדן מסדר m המתאים לערך העצמי $\lambda$

אנו יודעים ש $rank(A)=3$ ולכן גם $deg(f_{A})=3$

נפצל את הפתרון לכמה מקרים:

אם ל $f_{A}(x)$ שלושה שורשים שונים, כלומר שלושה ע"ע שונים.

אז לפי משפט, שתי המטריצות לכסינות ודומות למטריצה מהצורה:

$\begin{pmatrix} \lambda _{1} & 0& 0\\ 0& \lambda _{2}&0 \\ 0&0 & \lambda _{3} \end{pmatrix}$

ולכן דומות בניהן.

אם ל $f_{A}(x)$ שורש אחד, כלומר ע"ע אחד

אז $A-\lambda I, B-\lambda I$ (כאשר למדא הוא הע"ע) הן מטריצות נילפוטנטיות שגם עבורן מתקיים:

$f_{A-\lambda I}(x)=(x-\lambda)^{3}=f_{B-\lambda I}(x)$

$m_{A-\lambda I}(x)=m_{B-\lambda I}(x)$

לכן מספיק להראות שעבור כל פ"מ שנבחר יש צורת ג'ורדן אפשרית יחידה ששתי המטריצות יהיו דומות לה:

ניעזר בעובדה שהדרגה של הפ"מ, היא אינדקס הנילפוטנטיות של המטריצה, שהוא הגודל של הבלוק הגדול ביותר בצורת הג'ורדן.

אם $deg(m_{A-\lambda I}(x))=1$ אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 1 ולכן:

$J_{A-\lambda I}=J_{1}(0)\oplus J_{1}(0)\oplus J_{1}(0)=0=J_{B-\lambda I}$

אם $deg(m_{A-\lambda I}(x))=2$ אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 2 ונותר מקום רק לבלוק ג'ורדן מגודל 1 ולכן:

$J_{A-\lambda I}=J_{2}(0)\oplus J_{1}(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix}=J_{B-\lambda I}$

אם $deg(m_{A-\lambda I}(x))=3$ אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 3 (והוא בעצם כל צורת הג'ורדן):

$J_{A-\lambda I}=J_{3}(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix}=J_{B-\lambda I}$

בסה"כ הראנו שבכל מצב למטריצות $A-\lambda I, B-\lambda I$ אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.

מכאן, קיימת $P\in \mathbb{C}^{3x3}$ הפיכה כך שמתקיים: $P^{-1}(A-\lambda I)P=B-\lambda I$

$P^{-1}AP-\lambda P^{-1}IP=B-\lambda I$

$P^{-1}AP-\lambda I=B-\lambda I$

$P^{-1}AP=B$ ובסה"כ הראנו שהמטריצות A וB דומות.

אם ל $f_{A}(x)$ שני שורשים אז בהכרח מתקיים:

$f_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})$

וגם, $m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})$

או $m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})$

נראה שוב, שלמטריצות אותה צורת ג'ורדן עבור שני המקרים הללו:

מקרה 1: $m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})$

צורת הג'ורדן של המטריצה הנ"ל הינה סכום ישר של צורות ג'ורדן של שתי המטריצות המקיימות את התנאים הבאים:

$f_{A_{1}}(x)=(x-\lambda_{1} )^{2}, m_{A_{1}}(x)=(x-\lambda_{1} )$

מטריצה כזו הינה מהצורה: $\lambda _{1} I=\begin{pmatrix} \lambda _{1} & 0\\ 0& \lambda _{1} \end{pmatrix}$

והבלוק השני מגודל 1 הינו מהצורה $\begin{pmatrix} \lambda _{2} \end{pmatrix}$

ובסה"כ צורת הג'ורדן של המטריצה הינה: $J_{A}=J_{B}=\begin{pmatrix} \lambda _{1} & 0& 0\\ 0& \lambda _{1} &0 \\ 0& 0& \lambda _{2} \end{pmatrix}$

הראנו שמדובר באותה צורת ג'ורדן ולכן המטריצות A וB דומות.

מקרה 2: $m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})$

במקרה זה הבלוקים הנוצרים (באופן זהה) הינם: $\begin{pmatrix} \lambda _{1} & 1\\ 0& \lambda _{1} \\ \end{pmatrix}$ ו- $\begin{pmatrix} \lambda _{2} \end{pmatrix}$

ולכן צורת הג'ורדן של המטריצה הינה: $J_{A}=J_{B}=\begin{pmatrix} \lambda _{1} & 1 & 0\\ 0& \lambda _{1} & 0\\ 0& 0& \lambda _{2} \end{pmatrix}$

בסה"כ, במקרה זה לA וB אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.

לסיכום, הראנו שבכל מצב אפשרי המטריצות A וB דומות ומכאן שהן דומות.

מ.ש.ל.

פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4

Math-Wiki