פתרון לתרגיל 1.8 בחוברת לינארית

תרגיל 1.8

יהיה $V$ ממ"פ ממימד $n$ . יהיו וקטורים $v_1,...v_n \in V$ . נגדיר את מטריצת גרהם $A$ ע"י $a_{ij}=<v_i,v_j>$ . הוכח:

$v_1,...v_n\iff |A|=0$ ת"ל

פתרון

נסתכל על צירוף לינארי כללי של עמודות $A$ :

$\sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A) =\sum_{j=1}^{n}\alpha_j \begin{bmatrix} <v_1,v_j> \\ \vdots \\ <v_n,v_j> \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{n}\alpha_j<v_1,v_j> \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^{n}\alpha_j<v_n,v_j> \end{bmatrix}=$

זה שווה עפ"י כמו לינאריות במשתנה שני ל

$=\begin{bmatrix} <v_1,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j> \\ \vdots \\ <v_n,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j> \end{bmatrix}$

זה שווה לאפס אם $\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0$

טענת עזר (נוכיח אותה מיד): $\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j =0 \iff \forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0$

לכן הגענו למסקנה ש

$\sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A)=0 \iff \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0$

לכן

יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של עמודות המטריצה $A$ אם"ם יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של הוקטורים $v_1,...v_n$ .

נובע מיידית ש $|A|=0$ $\iff$ עמודות $A$ ת"ל $\iff$ הוקטורים $v_1,...v_n$ ת"ל

מ.ש.ל

הוכחת טענת העזר

$\Leftarrow$

נניח

$\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0$

אזי גם

$\forall i : \overline{\alpha_i}<v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0$

ולכן גם הסכום שלהם שווה אפס

$\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i}<v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0$

ולפי לינאריות במשתנה ראשון זה שווה

$<\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0$

אבל הסכום בשני הצדדים הוא אותו סכום בדיוק! נסמן $u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i$ ולכן $<u,u>=0$ וזה נכון רק אם $u=0$ כלומר $\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0$