פתרון משוואה ממעלה 3

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטארטאגליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

לפני שמתחילים

בהינתן משוואה $x^3+ax^2+bx+c=0$ ניתן להציב $x=y-\frac{a}{3}$ .

המשוואה שתתקבל מההצבה תהיה מהצורה $y^3+py+q=0$ עבור מספרים $p,q$ כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- $y$ כי $y=y_0$ הוא פתרון אם ורק אם $x=y_0-\frac{a}{3}$ הוא פתרון של המשוואה ב- $x$ .

לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה $y^3+py+q=0$ .

הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם $p=0$ או $q=0$), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב- $0$ .

שיטה ראשונה (טארטאגליה)

נחפש $u,v$ כך שיתקיים

$u^3+v^3=-q$

$uv=-\frac{p}{3}$ .

טענה: במצב זה, $y=u+v$ הוא שורש של המשוואה.

הוכחה: נציב ונבדוק:

$y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q$ $=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0$

מש"ל.

כדי למצוא $u,v$ נשים לב ש- $u^3\cdot v^3=-\frac{p^3}{27}$ ולכן $u^3,v^3$ הם שורשים של המשוואה הריבועית $t^2+p^3/27-q=0$ . נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות $t_1,t_2$ ואז נבחר $u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}$ .

שיטה שניה (מאוחרת יותר)

נציב $y=\alpha\cos(\theta)$ כאשר $\alpha=\sqrt{-\frac{4p}{3}}$ . אם נשתמש בזהות $\cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)$ נקבל:

$y^3+py+q=0=\alpha^3\cos^3(\theta)+p\alpha\cos(\theta)+q=\frac{\alpha^3\bigl(\cos(3\theta)+3\cos(\theta)\bigr)}{4}-p\alpha\cos(\theta)$ $=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+\alpha\left(\tfrac{3\alpha^2}{4}+p\right)\cos(\theta)+q=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+q$

לכן, מספיק למצוא $\theta$ כך ש- $\cos(3\theta)=-\frac{4q}{\alpha^3}$ כדי ש- $y=\alpha\cos(\theta)$ יהיה פתרון. בדרך כלל נצטרך להשתמש ב- $\arccos$ מרוכב כדי לחלץ את $3\theta$ ואז נצטרך להפעיל $\cos$ מרוכב על $\theta$ (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).