הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"

גרסה אחרונה מ־17:20, 6 ביוני 2016

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטארטאגליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

לפני שמתחילים

בהינתן משוואה $x^3+ax^2+bx+c=0$ ניתן להציב $x=y-\frac{a}{3}$ .

המשוואה שתתקבל מההצבה תהיה מהצורה $y^3+py+q=0$ עבור מספרים $p,q$ כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- $y$ כי $y=y_0$ הוא פתרון אם ורק אם $x=y_0-\frac{a}{3}$ הוא פתרון של המשוואה ב- $x$ .

לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה $y^3+py+q=0$ .

הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם $p=0$ או $q=0$ ), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב- $0$ .

שיטה ראשונה (טארטאגליה)

נחפש $u,v$ כך שיתקיים

u^3+v^3=-q

uv=-\frac{p}{3}

.

טענה: במצב זה, $y=u+v$ הוא שורש של המשוואה.

הוכחה: נציב ונבדוק:

y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q

=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0

מש"ל.

כדי למצוא $u,v$ נשים לב ש- $u^3\cdot v^3=-\frac{p^3}{27}$ ולכן $u^3,v^3$ הם שורשים של המשוואה הריבועית $t^2+p^3/27-q=0$ . נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות $t_1,t_2$ ואז נבחר $u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}$ .

שיטה שניה (מאוחרת יותר)

נציב $y=\alpha\cos(\theta)$ כאשר $\alpha=\sqrt{-\frac{4p}{3}}$ . אם נשתמש בזהות $\cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)$ נקבל:

y^3+py+q=0=\alpha^3\cos^3(\theta)+p\alpha\cos(\theta)+q=\frac{\alpha^3\bigl(\cos(3\theta)+3\cos(\theta)\bigr)}{4}-p\alpha\cos(\theta)

=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+\alpha\left(\tfrac{3\alpha^2}{4}+p\right)\cos(\theta)+q=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+q

לכן, מספיק למצוא $\theta$ כך ש- $\cos(3\theta)=-\frac{4q}{\alpha^3}$ כדי ש- $y=\alpha\cos(\theta)$ יהיה פתרון. בדרך כלל נצטרך להשתמש ב- $\arccos$ מרוכב כדי לחלץ את $3\theta$ ואז נצטרך להפעיל $\cos$ מרוכב על $\theta$ (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.
+הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטארטאגליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.
 הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.
+==לפני שמתחילים==
+בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-\frac{a}{3}</math> .
-== לפני שמתחילים ==
+המשוואה שתתקבל מההצבה תהיה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- <math>y</math> כי <math>y=y_0</math> הוא פתרון אם ורק אם <math>x=y_0-\frac{a}{3}</math> הוא פתרון של המשוואה ב- <math>x</math> .
-בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-a/3</math>. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-<math>y</math> כי  <math>y=y_0</math> הוא פיתרון אם ורק אם <math>x=y_0-a/3</math> הוא פיתרון של המשוואה ב-<math>x</math>.
-'''לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>.'''
+'''לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> .'''
-'''הערה:''' אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם <math>p=0</math> או <math>q=0</math>), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.
+'''הערה:''' אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם <math>p=0</math> או <math>q=0</math>), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב- <math>0</math> .
-== שיטה ראשונה (טרטליה) ==
+==שיטה ראשונה (טארטאגליה)==
+נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים
-נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים <math>u^3+v^3=-q</math> ו-<math>uv=-p/3</math>.
+:<math>u^3+v^3=-q</math>
+:<math>uv=-\frac{p}{3}</math> .
 '''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה.
 '''הוכחה:''' נציב ונבדוק:
+<center><math>y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q</math></center>
-<math>y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math>
+<center><math>=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math></center>
 '''מש"ל.'''
-כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math>.
+כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש- <math>u^3\cdot v^3=-\frac{p^3}{27}</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math> . נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math> .
-== שיטה שנייה (מאוחרת יותר) ==
+==שיטה שניה (מאוחרת יותר)==
+נציב <math>y=\alpha\cos(\theta)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt{-\frac{4p}{3}}</math> . אם נשתמש בזהות <math>\cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)</math> נקבל:
-נציב <math>y=\alpha\cos\theta</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt{-4p/3}</math>. אם נשתמש בזהות <math>\cos 3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos\theta</math> נקבל:
+<center><math>y^3+py+q=0=\alpha^3\cos^3(\theta)+p\alpha\cos(\theta)+q=\frac{\alpha^3\bigl(\cos(3\theta)+3\cos(\theta)\bigr)}{4}-p\alpha\cos(\theta)</math></center>
-<math>0=y^3+py+q=\alpha^3\cos^3\theta+p\alpha\cos\theta+q=\frac{\alpha^3}{4}(\cos 3\theta + 3\cos\theta)-p\alpha\cos\theta=\frac{\alpha^3}{4}\cos 3\theta+\alpha(\frac{3}{4}\alpha^2+p)\cos\theta+q=\frac{\alpha^3}{4}\cos 3\theta+q</math>
+<center><math>=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+\alpha\left(\tfrac{3\alpha^2}{4}+p\right)\cos(\theta)+q=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+q</math></center>
-לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה פיתרון.
+לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש- <math>\cos(3\theta)=-\frac{4q}{\alpha^3}</math> כדי ש- <math>y=\alpha\cos(\theta)</math> יהיה פתרון.
-בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-<math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).
+בדרך כלל נצטרך להשתמש ב- <math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"

גרסה אחרונה מ־17:20, 6 ביוני 2016

לפני שמתחילים

שיטה ראשונה (טארטאגליה)

שיטה שניה (מאוחרת יותר)

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים