הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"

גרסה מ־09:05, 4 בינואר 2012

א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא $f_{A}(x)=\left | xI-A \right |=(x-1)^{2}(x-2)$

ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. אחרי חישוב נקבל ש- $(A-I)(A-2I)\neq 0$ כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון). לכן הפולינום המינימאלי של A הוא $m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)$ ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1.

ד. נגדיר $k_{\lambda }$ -הריבוי האלגברי של ע"ע למדה ו- $m_{\lambda }$ הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע למדה מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו $(x-\lambda)^{k}$ מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, $k_{1}=2$ $k_{2}=1$ הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1. לכן, $1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1$ הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, $m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}=dim(Sp\left \{ e_{1} \right \})=1$

ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל-A. מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם $(x-\lambda)$ בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא $J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A.
-אחרי חישוב נקבל ש- <math>A-I)(A-2I)\neq 0  </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A
+אחרי חישוב נקבל ש- <math>(A-I)(A-2I)\neq 0  </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A
 שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון).
 לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"

גרסה מ־09:05, 4 בינואר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים