הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"

גרסה מ־09:08, 4 בינואר 2012

א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא $f_{A}(x)=\left | xI-A \right |=(x-1)^{2}(x-2)$

ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. אחרי חישוב נקבל ש- $(A-I)(A-2I)\neq 0$ כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון). לכן הפולינום המינימאלי של A הוא $m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)$ ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1.

ד. נגדיר $k_{\lambda }$ -הריבוי האלגברי של ע"ע $\lambda$ ו- $m_{\lambda }$ הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע למדה מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו $(x-\lambda)^{k}$ מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, $k_{1}=2$ $k_{2}=1$ הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1. לכן, $1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1$ הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, $m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}=dim(Sp\left \{ e_{1} \right \})=1$

ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל-A. מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם $(x-\lambda)$ בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא $J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$

@@ שורה 7: / שורה 7: @@
 ג.	הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1.
-ד. נגדיר <math>k_{\lambda }</math>-הריבוי האלגברי של ע"ע למדה ו-<math>m_{\lambda }</math> הריבוי הגיאומטרי שלו.
+ד. נגדיר <math>k_{\lambda }</math>-הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> ו-<math>m_{\lambda }</math> הריבוי הגיאומטרי שלו.
 הריבוי האלגברי של ע"ע למדה מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו <math>(x-\lambda)^{k} </math>
 מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, <math>k_{1}=2</math>  <math>k_{2}=1</math> הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"

גרסה מ־09:08, 4 בינואר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים