הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"

גרסה אחרונה מ־23:04, 8 בינואר 2012

א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא $f_{A}\left(x\right)=\left|xI-A\right|=\left|\begin{array}{ccc} x-1 & 1 & 1\\ 0 & x-1 & 1\\ 0 & 0 & x-2 \end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right)$

ב. לפולינום המינימאלי של $A$ יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של $A$ . אחרי חישוב נקבל ש- $(A-I)(A-2I)\neq 0$ כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של $A$ שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את $A$ . לכן הפולינום המינימאלי של A הוא $m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)$ .

ג. הע"ע של $A$ הם שורשי הפולינום האופייני של $A$ , שהם $2$ ו $1$ .

ד. נגדיר $k_{\lambda }$ -הריבוי האלגברי של ע"ע $\lambda$ ו- $m_{\lambda }$ הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע $\lambda$ מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר $k$ שעבורו $(x-\lambda)^{k}$ מחלק את הפולינום האופייני של $A$ . לכן, $k_{1}=2$ $k_{2}=1$ הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל $1$ . לכן, $1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1$ .

הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, $m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}=dim(Sp\left \{ e_{1} \right \})=1$

ה.הפולינום האופייני של $A$ מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל $A$ . מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם $(x-\lambda)$ בפולינום המינימאלי של $A$ . לכן, הבלוק הקשור לע"ע $2$ הוא מסדר $1$ והבלוק הקשור לע"ע $1$ הוא מסדר $2$ . לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא $J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$

דרך כמו שרשום בחוברת

הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר $\max\left\{ k : \left(x-1\right)^{k}\vert m_{A}\left(x\right)\right\}=2$

ולכן יש בלוק $J_{2}(1)$ והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק $J_{m}(2)$

אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1

ולכן צורת הז'ורדן של A היא $J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 \end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right)</math>
-ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A.
+ב. לפולינום המינימאלי של <math>A</math> יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של <math>A</math>.
-אחרי חישוב נקבל ש- <math>(A-I)(A-2I)\neq 0  </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A
+אחרי חישוב נקבל ש- <math>(A-I)(A-2I)\neq 0  </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של <math>A</math>
-שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון).
+שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את <math>A</math>.
-לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math>
+לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math>.
-ג.	הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1.
+ג.	הע"ע של <math>A</math> הם שורשי הפולינום האופייני של <math>A</math>, שהם <math>2</math> ו <math>1</math>.
 ד. נגדיר <math>k_{\lambda }</math>-הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> ו-<math>m_{\lambda }</math> הריבוי הגיאומטרי שלו.
-הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו <math>(x-\lambda)^{k} </math>
+הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר <math>k</math> שעבורו <math>(x-\lambda)^{k} </math>
-מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, <math>k_{1}=2</math>  <math>k_{2}=1</math> הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או
+מחלק את הפולינום האופייני של <math>A</math>. לכן, <math>k_{1}=2</math>  <math>k_{2}=1</math> הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או
-שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1. לכן, <math>1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1</math>
+שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל <math>1</math>. לכן, <math>1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1</math>.
 הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, <math>            m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix}
 &1  &1 \\
@@ שורה 22: / שורה 24: @@
 </math>
-ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל-A.
+ה.הפולינום האופייני של <math>A</math> מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל <math>A</math>.
 מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד.
 A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1.
 הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם <math>(x-\lambda)</math>
-בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2.
+בפולינום המינימאלי של <math>A</math>. לכן, הבלוק הקשור לע"ע <math>2</math> הוא מסדר <math>1</math> והבלוק הקשור לע"ע <math>1</math> הוא מסדר <math>2</math>.
 לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math>
   J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix}
@@ שורה 39: / שורה 41: @@
-הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר <math>\max\left\{ k|\left(x-1\right)^{k}/m_{A}\left(x\right)\right\}=2</math>
+הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר <math>\max\left\{ k : \left(x-1\right)^{k}\vert m_{A}\left(x\right)\right\}=2</math>
 ולכן יש בלוק <math>J_{2}(1)</math> והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני  ולכן יש בלוק <math>J_{m}(2)</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"

גרסה אחרונה מ־23:04, 8 בינואר 2012

דרך כמו שרשום בחוברת

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים