נוספו 2,455 בתים,
00:50, 9 בדצמבר 2009 =תרגיל 2=
==תרגיל 2.14==
הראנו בתרגיל 1.10 ש <math>(1,\phi,\phi^2,\cdots,\phi^{n-1})</math> הוא וקטור עצמי עבור <math>\phi</math> שורש יחידה מסדר <math>n</math>. נרצה להוכיח שעבור <math>n</math> שורשי היחידה השונים מתקבלים <math>n</math> וקטורים עצמיים שונים ובת"ל. נמקם את הוקטורים האלה בשורה ונקבל מטריצת ונדרמונדה. הדטרמיננטה של מטריצה זו היא <math>\det(A) = \prod_{1\le i<j\le n} (\phi_j-\phi_i). </math>. מכיוון ששורשי היחידה שונים זה מזה, <math>det(A)\neq 0</math> כלומר הוקטורים העצמיים בת"ל. ולכן הם פורסים מרחב ממימד <math>n</math> ולכן המטריצה לכסינה.
=== חישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונדה===
<math>V=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-1}\\
\end{bmatrix}</math>
*לפי האלגוריתם בספר, נחסיר מכל עמודה את העמודה הקודמת כפול <math>\alpha_1</math> לקבל:
<math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
1 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2^2 - \alpha_1 \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-1} - \alpha_1 \alpha_2^{n-2}\\
1 & \alpha_3- \alpha_1 & \alpha_3^2 - \alpha_1 \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-1} - \alpha_1 \alpha_3^{n-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_n - \alpha_1 & \alpha_n^2 -\alpha_1 \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-1} - \alpha_1 \alpha_n^{n-2}\\
\end{bmatrix}</math>
<math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
1 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2 - \alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2 - \alpha_1)\\
1 & \alpha_3- \alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3- \alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3- \alpha_1)\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_n - \alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n - \alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n - \alpha_1)\\
\end{bmatrix}</math>
*נחשב את הדטרמיננטה לפי השורה הראשונה לקבל <math>det(V)=det(V_{11})</math>.
*ב <math>V_{11}</math> נחלק כל שורה <math>i</math> ב <math>\alpha_i- \alpha_1</math> ונמשיך באינדוקציה.