הבדלים בין גרסאות בדף "פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(דף חדש: =תרגיל 2= ==תרגיל 2.14== הראנו בתרגיל 1.10 ש <math>(1,\phi,\phi^2,\cdots,\phi^{n-1})</math> הוא וקטור עצמי עבור <math>\phi</math> שורש יחיד…)
 
(←‏תרגיל 2)
 
שורה 32: שורה 32:
 
*נחשב את הדטרמיננטה לפי השורה הראשונה לקבל <math>det(V)=det(V_{11})</math>.
 
*נחשב את הדטרמיננטה לפי השורה הראשונה לקבל <math>det(V)=det(V_{11})</math>.
 
*ב <math>V_{11}</math> נחלק כל שורה <math>i</math> ב <math>\alpha_i- \alpha_1</math> ונמשיך באינדוקציה.
 
*ב <math>V_{11}</math> נחלק כל שורה <math>i</math> ב <math>\alpha_i- \alpha_1</math> ונמשיך באינדוקציה.
 +
 +
==תרגילים נוספים==
 +
[[מדיה:LA2Targil2Solution.pdf|הורד קובץ]]

גרסה אחרונה מ־17:30, 20 בדצמבר 2009

תרגיל 2

תרגיל 2.14

הראנו בתרגיל 1.10 ש (1,\phi,\phi^2,\cdots,\phi^{n-1}) הוא וקטור עצמי עבור \phi שורש יחידה מסדר n. נרצה להוכיח שעבור n שורשי היחידה השונים מתקבלים n וקטורים עצמיים שונים ובת"ל. נמקם את הוקטורים האלה בשורה ונקבל מטריצת ונדרמונדה. הדטרמיננטה של מטריצה זו היא \det(A) = \prod_{1\le i<j\le n} (\phi_j-\phi_i). . מכיוון ששורשי היחידה שונים זה מזה, det(A)\neq 0 כלומר הוקטורים העצמיים בת"ל. ולכן הם פורסים מרחב ממימד n ולכן המטריצה לכסינה.

חישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונדה

V=\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-1}\\ \end{bmatrix}

  • לפי האלגוריתם בספר, נחסיר מכל עמודה את העמודה הקודמת כפול \alpha_1 לקבל:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2^2 - \alpha_1 \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-1} - \alpha_1 \alpha_2^{n-2}\\ 1 & \alpha_3- \alpha_1 & \alpha_3^2 - \alpha_1 \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-1} - \alpha_1 \alpha_3^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n - \alpha_1 & \alpha_n^2 -\alpha_1 \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-1} - \alpha_1 \alpha_n^{n-2}\\ \end{bmatrix}


\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2 - \alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2 - \alpha_1)\\ 1 & \alpha_3- \alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3- \alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3- \alpha_1)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n - \alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n - \alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n - \alpha_1)\\ \end{bmatrix}

  • נחשב את הדטרמיננטה לפי השורה הראשונה לקבל det(V)=det(V_{11}).
  • ב V_{11} נחלק כל שורה i ב \alpha_i- \alpha_1 ונמשיך באינדוקציה.

תרגילים נוספים

הורד קובץ

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרונות_לקורס_לינארית_2_לתיכוניסטים_תש%22ע_-_תרגיל_2&oldid=842