קוד:אופרטור אוניטרי שומר על הזווית

\begin{remark}

כל אופרטור אוניטרי $T$ שומר זוויות, כלומר $\sphericalangle \left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\sphericalangle \left(u,v \right )$.

\end{remark}

\begin{proof}

$$\cos\sphericalangle \left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\frac{\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle}{\left \| T\left(u \right ) \right \|\left \| T\left(v \right ) \right \|}=\frac{\left \langle u,v \right \rangle}{\left \| u \right \|\left \| v \right \|}=\cos\sphericalangle \left(u,v \right )$$

\end{proof}

נשאלת השאלה - לאחר המשפט הקודם, שבו הראינו שקילויות רבות לאופרטור אוניטרי, האם גם כאן אין שקילות? התשובה היא שאין. ניתן דוגמה.

\begin{example}

ניקח $T\left(v\right)=2v$. הוא שומר זוויות, אבל איננו אוניטרי; $TT^*\left(v\right)=4v$.

\end{example}