<latex2pdf>\subsection{פעולות עם גבולות אינסופיים}<tex>קוד:ראש</tex>\begin{thm}\begin{enumerate}\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} x_n+y_n=\pm \infty $ (בהתאם לגבול של $ x_n $ )
\underlineitem אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{משפט:R}$ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-$0$ אם הוא $0$.
1. אם \item $ x_n\lim_{n\to \pm infty }|x_n|=\infty , y_n\to aRightarrow \in displaystyle{\mathbbdisplaystyle{R} $ אזי $ \lim_{n\to \infty} }} \frac{1}{x_n+y_n}=0 $.\pm \infty $ (בהתאם לגבול של $ x_n $ )גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:
2$3.1$. אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in displaystyle{\mathbbdisplaystyle{R} $ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n}} \cdot y_n=\operatornamefrac{sign1}(a){x_n}=0 \cdot land x_n>0 \pm Rightarrow x_n\to \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-0 אם הוא 0.
$3.2$. $\lim_displaystyle{n\to \infty }|x_n|=\infty \Rightarrow displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty $. גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:
$3.1$. $ \lim_end{n\to \inftyenumerate} \fracend{1thm}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty $
\begin{proof}\begin{enumerate}\item יהי $3.2M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש-$$ \lim_exists_{n\to \inftyn_1} \fracforall_{n>n_1}: a-1<y_n<a+1 $$ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש-$$ \exists_{n_2}\forall_{x_nn>n_2}: x_n>M-a+1 $$ולכן אם נגדיר $n_0=0 \land x_n<0 max\Rightarrow x_n{n_1,n_2\to } $ אז יתקיים ש-$$ \infty forall_{n>n_0}: x_n+y_n>(M-a+1)+(a-1)=M $$
\underline{הוכחהitem נוכיח עבור $a$ חיובי, עבור $a$ שלילי ההוכחה דומה מאוד והדבר היחיד כמעט שמשתנה זה סימני אי השיוויון:}
1. יהי $M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a-1}{2}<y_n<a+1 \frac{3a}{2} $$ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $$ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>M-\frac{2}{a+1 }M $ $ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $$ \forall_{n>n_0}: x_n+\cdot y_n>(\frac{2}{a}M-\cdot \frac{a+1)+(a-1)}{2}=M $. $
2\item יהי $ \epsilon>0 $. נוכיח עבור מהגדרת השאיפה לאינסוף של $ax_n $ חיובי, עבור אנחנו יודעים ש-$a$ שלילי ההוכחה דומה מאוד והדבר היחיד כמעט שמשתנה זה סימני אי השיוויון\exists_{n_0}\forall_{n>n_0}: x_n>\frac{1}{\epsilon} $$אבל$$\frac{1}{\epsilon}<|x_n|\Leftrightarrow \frac{1}{|x_n|}<\epsilon $$ וקיבלנו את הדרוש כי$$\forall_{n>n_0}:|\frac{1}{x_n}|<\epsilon $$
יהי $ M>0 3.1$. מהגדרת הגבול של נוכיח את $y_n3.1$ ידוע שו- $3.2$ מוכח באופן דומה: יהי $M>0 $ אז $ \exists_{n_1n_0}\forall_{n>n_1n_0}: \frac{a1}{2x_n}<y_n<\frac{3a1}{2M} $ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ומכאן ש- $ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2n_0}: x_n>M $. \fracend{2enumerate}\end{aproof}M \subsection{מקרים של כל מקרה לגופו - אי הגדרה:}יהיו $ ולכן x_n,y_n$\begin{enumerate}\item אם נגדיר $n_0=x_n\maxto \{n_1infty ,n_2y_n \} to -\infty $ אז יתקיים שלא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n+y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty+(- \infty) $ ) \forall_begin{example}$$x_n=n>n_0, y_n=1-n \Rightarrow x_n+y_n=1\to 1$$$$x_n=n^2, y_n=2-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=2\to 2$$ $$x_n=n^2 , y_n=-n \Rightarrow x_n+y_n=n^2-n=n(n-1)\to \infty$$$$x_n=n , y_n=-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=-n^2+n=-n(n-1)\to -\infty$$$$x_n=n , y_n=(-1)^n - n \Rightarrow x_n+y_n=(-1)^n \Rightarrow \text{Limit }: \text{doesn't } \text{exist} $$ \end{example} \item אם $x_n\to \infty , y_n \to 0 $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n\cdot y_n>$ \begin{example} $$x_n=n, y_n=\frac{1}{n} \Rightarrow x_n y_n=1\to 1$$$$x_n=n^2, y_n=\frac{2}{an^2}M\cdot Rightarrow x_n y_n = 2\to 2$$$$x_n=n^2 , y_n=\frac{a-1}{n} \Rightarrow x_n y_n = -n\to -\infty$$$$x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2}\Rightarrow x_n y_n =M \frac{1}{n}\to 0$$. <tex>קוד$$x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} \Rightarrow x_n y_n = (-1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist}$$ \end{example} \item אם שתי הסדרות שואפות ל-$0$ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $\frac{x_n}{y_n}$ \end{enumerate} \begin{example}אם ניקח כל זוג מהדוגמאות של מקרה 2 ונחליף את $x_n$ בהופכי שלו, נקבל דוגמאות ל-3 (חשבו מה קורה במקרה זה ל-$ \frac{y_n}{x_n} $)\end{example} \underline{תרגיל:זנב</tex>} מהו $\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ?</latex2pdf>\underline{פתרון:} נשתמש בשיטה שנקראת "כפל בצמוד" והיא נקראת כך מהדמיון לרעיון של חילוק מספרים מרוכבים (לא חלק מהחומר של הקורס)$$ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $$