מצאנו $ N $ כנדרש. משל
$\\$
\underline{משפט: (אריתמטיקה של גבולות)} נניח ש- $ a_n \to a , b_n \to b $ (כאשר $a,b \in \mathbb{R} $ ) אזי:
1. $\lim_{n\to \infty} (a_n+b_n) = a+b $
2. $ \lim_{n\to \infty} (a_n b_n) = ab $
3. אם $c$ קבוע אז $c\cdot a_n \to ca $
4. אם $ a>0 $ אז $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a} $
\underline{הוכחה:}
1. נסמן $ x_n=a_n-a,y_n=b_n-b $ ועפ"י משפט, הם שואפים ל-0. מהמשפט הקודם, הסכום שלהם שואף ל-0: $ x_n+y_n=a_n-a+b_n-b=(a_n+b_n)-(a+b)\to 0 $ . לפי משפט, זה אומר ש- $ a_n+b_n\to a+b $
2. אם נסתכל על אותם $x_n,y_n$ אז מהמשפט הקודם, המכפלה שלהם שואפת ל-0.
$ a_n b_n = (x_n+a)(y_n+b)=x_n y_n + a\cdot y_n + b\cdot x_n + ab $
כל אחד מארבעת הרכיבים מתכנס: הראשון ל-0, השני והשלישי הם סדרות ששואפות ל-0 כפול מספר קבוע (שאפשר להתייחס אליו כאל סדרה חסומה) ולכן שואפות ל-0 והרביעי הוא סדרה קבועה ששואפת ל- $ab$. סך הכל, מהדבר האחרון שהוכחנו (סכום גבולות), $ a_n b_n \to ab $
3. נגדיר $\forall n: c_n=c$ ונראה ש- $c_n\to c$, ממשפטון 2 נקבל את הדרוש
4.יהי אפסילון גדול מ-0. נראה שמתקיימים הדברים הבאים:
$ \exists N_0 \forall n>N_0 : ||a_n| - |a||<|a| $ (לקחנו את הערך המוחלט של $a$ להיות האפסילון). לכן עבור $n>N_0$ מתקיים ש- $ |a|<2|a_n| $
$ |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|=|\frac{a-a_n}{a_n a}|=\frac{|a-a_n|}{|a_n| |a| }\leq |a-a_n| \frac{2}{|a_n| |a|} $
עפ"י הגדרת הגבול
$ \exists N \forall n>N: |a_n-a|\leq \epsilon \frac{|a|^2}{4} $
מכאן שלכל $ n>N $
$ |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|\leq |a_n-a| \frac{2}{|a_n| |a|} \leq \epsilon \frac{|a|^2}{4} \frac{2}{|a_n| |a|}=\epsilon \frac{|a|}{2|a_n|}< \epsilon \frac{2|a_n|}{2|a_n|}=\epsilon $
משל
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>