קוד:בלוק ז'ורדן איננו לכסין

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

\begin{prop}

אם $n\ge 2$, אזי $J_\lambda$ איננה לכסינה.

\end{prop}

\begin{proof}

נחפש ו"ע של $J_{n}(\lambda )$. יהי $$v=\left(\begin{matrix} \alpha _{1} & \\ \vdots & \\ \alpha _{n} & \\ \end{matrix} \right)$$ ו"ע של $J_{n}\left(\lambda \right)$. $\lambda $ הוא הע"ע היחיד של $J_{n}\left(\lambda \right)$ (כי הוכחנו כאשר דיברנו על ע"ע שעבור מטריצה משולשת, הע"ע הם האיברים שעל האלכסון הראשי שלה). נשים לב: $$J_n\left ( \lambda \right )v=\left ( \begin{matrix} \lambda & 1 & &0 \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ 0& & & \lambda \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} \lambda\alpha_1+\alpha_2\\ \vdots\\ \lambda\alpha_{n-1}+\alpha_n\\ \lambda\alpha_n \end{matrix} \right )=\lambda v=\left ( \begin{matrix} \lambda\alpha_1\\ \vdots\\ \lambda\alpha_{n-1}\\ \lambda\alpha_n \end{matrix} \right )$$ קיבלנו מערכת משוואות: $$\left \{ \begin{matrix} \lambda\alpha_1+\alpha_2=\lambda\alpha_1\\ \vdots\\ \lambda\alpha_{n-1}+\alpha_n=\lambda\alpha_{n-1}\\ \lambda\alpha_n=\lambda\alpha_n \end{matrix} \right.\Rightarrow\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0 $$ לכן כל ו"ע של $J_{n}\left(\lambda \right)$ הוא מהצורה $$v=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{matrix} \right )$$ אבל $$V_{\lambda }(J_{n}(\lambda ))=\left\{ v\in\mathbb{F}^{n}\mid J_{n}(\lambda )v=\lambda v\right\} $$ מרחב וקטורי ממימד 1, לכן למרחב הוקטורי $\mathbb{F}^{n}$ אין בסיס המורכב מו"ע של $J_{n}(\lambda )$ , ולכן $J_{n}(\lambda )$ אינו לכסין.

\end{proof}

בעצם, מה הפריע לנו? לא היו מספיק וקטורים עצמיים לערך העצמי $\lambda$. בלוק ז'ורדן הוא דוגמה חשובה, והיא תחזור בהמשך הקורס ותקבל תפקיד משמעותי ביותר.