שינויים

\underlinebegin{הגדרה:definition} תהי $A\subseteq \mathbb{N} $ אינסופית אז הצמצום של הסדרה $ x_n:\mathbb{N}\to \mathbb{R} $ אל הקבוצה A נקראת תת סדרה של $x_n$. עוד דרך להסתכל על זה היא לקחת סדרה חד חד ערכית של טבעיים שמונוטונית עולה, $n_k$ (לדוגמה $n(k)=2k $ היא סדרת הזוגיים $2,4,6,\cdots $) ואז להסתכל על $f(n(k)) $ או $ x_{n_k} $ .\end{definition}

לדוגמה, \begin{example}נסתכל על הסדרה $1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots $ נסתכל על הסדרה שנמצאת במקומות הזוגיים, כלומר ניקח את

\underlinebegin{הגדרה:definition} $l \in \mathbb{R} $ נקרא גבול חלקי של סדרה אם קיימת תת סדרה שלה שמתכנסת ל- $l$\end{definition}

$\\$\underlinebegin{משפט:thm} אם $x_n \to L$ אז כל תת סדרה שלה מתכנסת ל-$L$.\end{thm}

\underlinebegin{הוכחה:proof} תהי תת סדרה $x_{n_k}$ ויהי אפסילון גדול מ-0. עפ"י הנתון$\exists n_0 \forall n>n_0 |x_n-L|<\epsilon $ . ידוע ש- $n_k$ סדרה חח"ע מונוטונית עולה של טבעיים, ולכן היא לא חסומה וקיים $k_0 $ כך ש- $\forall k>k_0: n_{k_0} > n_0 $ . מכאן ש- $ \forall k>k_0 : |x_{n_k}-L|<\epsilon varepsilon $ \end{proof}

$\\$\underlinebegin{משפט:thm} תהי סדרה שכל תת סדרה שלה מתכנסת ל- $L$, אזי $x_n \to L$.\end{thm}

\underlinebegin{הוכחה:proof} נניח בשלילה שהסדרה לא מתכנסת ל- $L$, אזי $\exists_{\epsilon>0}\forall_{N} \exists_{n>N} : |x_n-L|\geq \epsilon $ . אם כך, נבנה תת סדרה $x_{n_k} $ באופן הבא: לכל $N$ קיים $n>N$ שעבורו $|x_n-L|\geq \epsilon $ ולכן ניקח את אותם $n$ים עבור $N=1,2,3,\cdots $ ואלה יהיו ה- $n_k $. באופן הזה נקבל תת סדרה שהמרחק בין איבר בה ל-$L$ גדול או שווה לאפסילון אבל זה סותר את הנתון שכל תתי הסדרות שואפות ל- $L$.\end{proof}

\underlinebegin{משפט:thm} כל גבול חלקי של סדרה הוא בין הגבול התחתון שלה לגבול העליון שלה.\end{thm}

\underlinebegin{הוכחה:proof} יהי $l$ גבול חלקי אז קיימת תת סדרה $x_{n_k} \to l$. מתקיים ש- $l_{n_k}\leq x_{n_k} \leq L_{n_k} $ וממשפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש.\end{proof}

$\\$\underlinebegin{משפט:thm} הגבול העליון והתחתון הם גבולות חלקיים\end{thm}

\underlinebegin{הוכחה:proof}$L_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\} $ ואז לכל $k$ מתקיים $\exists_{n_k} : L_k-\frac{1}{k}<x_{n_k}<L_k $ ואז קיימת תת סדרה מונוטונית שלפי משפט הסנדוויץ' מתכנסת לגבול העליון. עבור הגבול התחתון באופן אנלוגי.\end{proof}

\underlinebegin{משפט:thm} לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת\end{thm}

\underlinebegin{הוכחה:proof} $-M\Rightarrow x_n\leq M \Rightarrow -M\leq l_n \leq M$ ואז $l_n$ מונו' עולה וחסומה ומכאן שמתכנסת, אז הגבול התחתון קיים, והוא גבול חלקי, ולכן יש תת סדרה מתכנסת.\end{proof}