שינויים
\begin{proof}
רעיון ההוכחה: הגבול התחתון הוא גבול של סדרה מונוטונית עולה (סדרת האינפימומים), והסדרה המקורית $x_n$ חסומה מלעיל. לכן, גם סדרת האינפימומים חסומה מלעיל, ואז הגבול החלקי הוא מספר סופי משום שהוא גבול של סדרה מונוטונית וחסומה. משום שהגבול התחתון הוא גבול חלקי, קיימת תת סדרה שמתכנסת אליו. משל. בצורה יותר פורמלית:
$-M\leq x_n\leq M \Rightarrow -M\leq l_n \leq M$ ואז $l_n$ מונו' עולה וחסומה ומכאן שמתכנסת, אז הגבול התחתון קיים, והוא גבול חלקי, ולכן יש תת סדרה מתכנסת.
\end{proof}
