האמת, אי השיוויון הזה הוא ציורי וכשמראים אותו פשוט אומרים שזה נראה נכון בעין. כמובן שזוהי רמאות מתמטית מדרגה ראשונה, ועל כן גדי מהבלוג המתמטי הידוע "לא מדויק" כתב את הפוסט "הונאה מעבר לגבול". קריאה מומלצת למי שמרגיש מרומה, אך שימו לב כי זה עלול להיות קצת כבד, נסו לא להרתע.
\begin{cor}
$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $
\end{cor}
\begin{proof}
$$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-(1-2\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac12 \left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \left ( \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} \right )^2=\frac{1}{2} $$
בהוכחה השתמשנו בזהות $ \cos(\alpha)=1-2\sin^2\left( \frac{\alpha}{2}\right) $ ובהצבה $t=\frac{x}{2}$ עם אריתמטיקה של גבולות.
\end{proof}
שני הגבולות האלו הם גבולות חשובים שיהיו שימושיים מאוד בהמשך הקורס.
