שינויים
מהתזכורת הזאת נשים לב ש- $ L_n $ מונו' (מונוטונית) יורדת ו- $ L_n $ מונו' עולה. זאת משום ש- $ \{x_k : k\geq n\} \subseteq \{x_k : k\geq n+1 \} $ ולכן $ l_n\leq l_{n+1}\leq L_{n+1} \leq L_n $
\underlinebegin{הגדרה:definition} הגבול העליון של $ x_n $, שמסומן באופן הבא: $ \overline{\lim_lim}_{n\to\infty}} x_n $ מוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} L_n $ . באותו אופן, הגבול התחתון הוא ***שגיאה באנדרליין***!!!!!$\underline{\lim}_{n\to\infty} x_n =\lim_{n\to \infty} l_n $.\end{definition} \begin{thm}תהי סדרה חסומה $x_n $ אזי הגבול העליון והתחתון זהים אם ורק אם הסדרה $x_n $ מתכנסת (ואז תתכנס לגבול העליון/תחתון)\end{thm} \begin{proof}\boxed{\Leftarrow}נראה ש- $l_n\leq x_n \leq L_n $ אבל הקצוות מתכנסים לאותו מספר $L$ ולכן, ממשפט הסנדוויץ', $x_n\to L $ \boxed{\Rightarrow}יהי $\varepsilon>0 $ . אנו יודעים ש- $\exists N \forall n>N : x_n\in (L-\varepsilon,L+\varepsilon) $ ואז לפי ההגדרה $\forall n>N : L-\varepsilon<x_n<L+\varepsilon $ . לכן גם $$\forall n>N : L-\varepsilon\leq l_n\leq L_n \leq L+\varepsilon $$ ובעצם קיבלנו ש- $\exists N \forall n>N : |L_n -L|,|l_n -L|<\varepsilon $\end{proof}
