קוד:הגדרת מרחב עצמי

\begin{definition}

תהי $A$ מטריצה ריבועית, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של $A$. נגדיר $V_\lambda\left(A\right)=\left\{v\in\mathbb{F}^n\mid Av=\lambda v\right\}$. $V_\lambda\left(A\right)$ נקרא \textbf{המרחב העצמי} של $A$ הקשור ל-$\lambda$.

בעצם, זוהי קבוצת כל הווקטורים העצמיים של $A$ הקשורים ל-$\lambda$, ביחד עם וקטור האפס.

\end{definition}

\begin{remark}

$V_\lambda\left(A\right)$ הוא תת-מרחב וקטורי של $V=\mathbb{F}^n$.

\end{remark}

\begin{proof}

$0\in V_\lambda\left(A\right)$ - טריוויאלי, מכיוון ש-$A\cdot 0=0=\lambda\cdot 0$.

כמו כן, אם $v_1,v_2\in V_\lambda\left(A\right)$ ו-$\alpha,\beta\in\mathbb{F}$, מתקיים $$A\left(\alpha v_1+\beta v_2\right)=\alpha Av_1+\beta Av_2=\alpha\lambda v_1+\beta\lambda v_2=\lambda\left(\alpha v_1+\beta v_2\right)$$ ומכאן $\alpha v_1+\beta v_2\in V_\lambda\left(A\right)$.

\end{proof}

\begin{definition}

נגדיר לכל ע"ע של אופרטור לינארי $T$, מרחב $V_\lambda\left(T\right)=\left\{v\in V\mid Tv=\lambda v\right\}$. $V_\lambda\left(T\right)$ נקרא \textbf{המרחב העצמי} של $T$ הקשור ל-$\lambda$.

\end{definition}

כמו במטריצות, זהו אוסף הווקטורים העצמיים עם אפס, וגם זה מרחב וקטורי (הוכחה דומה).