<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
\subsection{הגדרה}
נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ .
\underlinebegin{משפט:thm} קיים הגבול $\lim_{n\to \infty} x_n $ , לגבול הזה קוראים $e$.\end{thm}
\underlinebegin{הוכחה:proof} נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.
עולה מונוטונית:
$$ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=$$$$\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $$
לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא:
$$ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $$
מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה.
\underline{חסומה מלעיל:}
$x_n=(1+\frac{1}{n})^n$
ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל
$$x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$$
איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה
$$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $$
ולכן
$$x_n \leq 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} $$
$x_n \leq 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} $ כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- $x_n<\leq 3$
אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.
\end{proof}
\subsection{תכונות של $ e $}
\underlinebegin{משפט:thm} $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}=e $\underlineend{הוכחה:thm} (ההוכחה משתמשת בכלים מסוף הקורס) ידוע ש- \begin{proof}נגדיר $e^xe_n=\sum_{k=0}^\infty n \frac{x^k1}{k!} $ ולכן . צריך להראות ש- $e_n\to e $ . אם נציב נשתמש באותה סדרה $x=0x_n$ שהגדרנו אז ראינו בהוכחה של המשפט הקודם ש- $x_n\leq e_n $ נקבל את הדרוש.מצד שני
$\\$end{proof}
נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים
$$e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=$$$$\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ $
כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח:
\underlinebegin{משפט:thm} $e\not\in \mathbb{Q} $\end{thm}
\underlinebegin{הוכחה:proof}
נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $|\alpha_n|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל
$$(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $$
וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה
\end{proof}
$(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $<tex>קוד:זנב</tex>וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n</latex2pdf>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה