קוד:הקשר בין הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של מטריצה והצמודה

\begin{thm}

אם $A$ מטריצה נורמלית, $\lambda$ ערך עצמי של $A$ ו-$v$ וקטור עצמי של $A$ הקשור ל-$\lambda$, אזי $v$ הוא גם וקטור עצמי של $A^*$ הקשור ל-$\overline{\lambda$.

\end{thm}

\begin{proof}

נתון כי $A$ נורמלית. נוכיח כי $\lambda I-A$ גם היא נורמלית: $$\left(\lambda I-A \right )\left(\lambda I-A \right )^*=\left(\lambda I-A \right )\left(\overline{\lambda}I-A^* \right )=\lambda\overline{\lambda}I-\overline{\lambda}AI-\lambda IA^*+AA^*=\left | \lambda \right |^2-\overline{\lambda}A-\lambda A^*+AA^*$$ $$\left(\lambda I-A \right )^*\left(\lambda I-A \right )=\left(\overline{\lambda}I-A^* \right )\left(\lambda I-A \right )=\overline{\lambda}\lambda I-\lambda A^*I-\overline{\lambda}IA+A^*A=\left | \lambda \right |^2-\overline{\lambda}A-\lambda A^*+A^*A$$ ויש שוויון בין שני הביטויים, כי $A$ נורמלית.

אם כן, מתקיים: $$Av=\lambda v\Rightarrow\left(\lambda I-A \right )v=0\Rightarrow\left \| \left(\lambda I-A \right )v \right \|=\left \| 0 \right \|=0$$ אבל $\lambda I-A$ נורמלית, ולכן מתקיים: $$\left \| \left(\lambda I-A \right )v \right \|=0\Rightarrow\left \| \left(\lambda I-A \right )^*v \right \|=0\Rightarrow\left(\lambda I-A \right )^*v=0\Rightarrow\left(\overline{\lambda}I-A^* \right )v=0\Rightarrow A^*v=\overline{\lambda}v$$

\end{proof}