שינויים

\begin{example}נגדיר $S=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots $, זה מוגדר משום שהטור מתכנס לפי מבחן לייבניץ (לטורים מחליפי סימן). נוכיח בהמשך ש- $S=\ln 2 $ , אבל לעת עתה ברור ש- $S>0 $ משום שאפשר לקבץ את האיבר במקום ה- $2n+1$ עם האיבר במקום ה- $2n+2$ ולקבל הפרש של 2 שברים מהצורה $\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+2} $ בכל מחובר וכל אחד מהם חיובי אז גם הטור חיובי. נסדר את איברי הטור בצורה שונה: $$S=(1-\frac12-\frac14)+(\frac13-\frac16-\frac18)+\cdots =\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n})=\\ $$$$\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n})=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}) = \frac{1}{2} S \\$$$$\Rightarrow S=\frac{1}{2} S \Rightarrow S=0 $$

$\\$end{example}

\underlinebegin{הגדרה:definition} נתון טור $(A) \sum_{n=1}^\infty a_n $ והעתקה $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N} $ חח"ע ועל אז הטור $(A') \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)} $ נקרא תמורה של $A$$\\$end{definition}

\underlinebegin{thm}[טענת עזר:} ]יהי $(A) \sum_{n=1}^\infty a_n $ ו- $(A') \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)} $ תמורה על $A$ . \\אם $\forall n : a_n\geq 0 $ ו-$A$ מתכנס אז גם $A'$ מתכנס.\end{thm}

\underlinebegin{הוכחה:proof} $A$ מתכנס ולכן $\exists C \forall n : \sum_{k=1}^n a_k \leq C $ כעת, ניקח את $N=\max\{\sigma(1),\cdots,\sigma(n)\} $ ונראה כי $\sum_{k=1}^n a_{\sigma(k)} \leq \sum_{k=1}^N an \leq C $ ולכן מתכנס. נסו להוכיח לבד למה \\באותה דרך מוכיחים ש- $A'=A$ \end{proof}

$\\$\underlinebegin{משפט:thm} יהי $(A) \sum_{n=1}^\infty a_n $ ו- $(A') \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)} $ תמורה על $A$ . אם $A$ מתכנס בהחלט אז גם $A'$ מתכנס בהחלט ומתקיים $A=A'$\end{thm}

\underlinebegin{הוכחה:proof}$ \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum a_n^+ - \sum a_n^- $ כאשר $a_n^+ $ הם האיברים החיוביים בטור ו- $a_n^- $ הם הערך המוחלט של האיברים השליליים בטור. שני הטורים מתכנסים (מבחן השוואה ראשון עם הטור המקורי). כעת נסתכל על $$\sum a_{\sigma(n))} = \sum a_{\sigma(n)}^+ - \sum_sum a_{\sigma(n)}^- $, $אבל כל טור פה הוא תמורה של אחד הטורים שכתבנו רק לפני רגע ואלה טוריים חיוביים ולכן, לפי טענת העזר, הם שווים. המסקנה היא ש- $$\sum a_{\sigma(n)} = \sum a_n^+ -\sum a_n^- = \sum a_n $$\\$\underlineend{משפט רימן:thm} יהי טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס על תנאי, אזי לכל $p\in \mathbb{R}$ וגם עבור $p=\pm \infty $ קיימת תמורה $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N} $ כך ש- $\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)} = p $

\underlinebegin{הוכחהthm}[משפט רימן]יהי טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס על תנאי, אזי לכל $p\in \mathbb{R}$ וגם עבור $p=\pm \infty $ קיימת תמורה $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N} $ כך ש- $\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)} = p $ \end{thm}\begin{proof} נראה שאם הטור מתכנס בתנאי אז $\sum a_n^+ , \sum a_n^- =\infty $ (נסו להבין לבד מה קורה אם זה לא משום שאם שניהם היו מתכנסים אז הטור היה ככה), וגם מתכנס בהחלט ואם רק אחד מהם היה מתכנס אז הטור היה מתבדר. כמו כן $a_n\to 0$ (כי זה תנאי הכרחי להתכנסות). \\כדי שהטור יתכנס ל- $p$ ממשי, נחבר איברים חיוביים של הטור שוב ושוב עד שנגיע למספר שגדול מ- $p$, בשלב זה נחסר איברים מ- $a_n^- $ שוב ושוב עד שנגיע למספר שקטן מ- $p$, כעת שוב נחזור לחבר ואז כשנעבור את $p$ נתחיל לחסר... הטור שקיבלנו שואף ל-$p$ (כי $a_n\to 0 $ ומאיך שבנינו את הטור) והוא גם תמורה של הטור המקורי. ברור שזה חח"ע אבל מדוע זה על? פשוט מכך שמכל שלב בטור והלאה, אם רק נחבר $a_n^+ $ או רק נחסר $a_n^- $ נגיע לאינסוף או מינוס אינסוף בהתאמה. מה אם $p=\infty$? נחבר מספיק איברים מ- $a_n^+ $ עד שנעבור את $10$ ונחסר איבר מ- $a_n^- $, ואז נחבר מספיק איברים חיוביים עד שנעבור את ה-$100$ ושוב נחסר $a_n^-$, עכשיו נחבר שוב מספיק איברים עד שנעבור את $1000$ וכו'... באופן אנלוגי דומה ל- $p=-\infty $\end{proof}