נשאלת השאלה מה הקשר בין וקטורים עצמיים הקשורים לערכים עצמיים שונים. במילים אחרות, מה הקשר בין המרחבים העצמיים של מטריצה )(או של אופרטור().
\textbfbegin{משפט:thm}
ו"ע הקשורים לע"ע שונים הם בת"ל.
\textitend{הוכחה:thm}
יהיו $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ ע"ע שונים, ונסמן $v_1,\dots,v_s$ הקשורים ל-$\lambda_1,\dots,\lambda_s$ בהתאמה. נוכיח $\left \begin{ v_1,\dots,v_s \right \proof}$ בת"ל.
יהיו $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ ע"ע שונים, ונסמן $v_1,\dots,v_s$ הקשורים ל-$\lambda_1,\dots,\lambda_s$ בהתאמה. נוכיח $\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ בת"ל. בשלילה, נניח ש-$\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ ת"ל. אם כן, קיימת לה תת-קבוצה ת"ל מינימלית, נסמנה $\left \{ v_1,\dots,v_t \right \}$.
ניקח צירוף לינארי $\left ( 1 \right )\quad\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t=0$, כאשר קיים $1\leq i\leq t$ שעבורו $\alpha_i\neq 0$. נפעיל את האופרטור $T$:
כיוון ש-$t-1<t$, ותת-הקבוצה $\left \{ v_1,\dots,v_t \right \}$ היא הקטנה ביותר ות"ל, כל המקדמים בצירוף הלינארי מתאפסים, כלומר
$$\left\{\begin{matrix}
\alpha_1\left(\lambda_1-\lambda_t \right )=0\\
\vdots\\
\alpha_{t-1}\left(\lambda_{t-1}-\lambda_t \right )=0
\end{matrix} \right.$.$
כל הע"ע שונים, לכן $\alpha_1=\cdots=\alpha_{t-1}=0$. נציב ב-$\left(1\right)$, ונקבל $\alpha_t v_t=0$. אבל $v_t\neq 0$, ולכן $\alpha_t=0$.
לכן $\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ בת"ל, כדרוש.
\end{proof}