\begin{example}
ניקח לדוגמה את $$A=\{1,2,3,-5,463\} $\\$
$1000$ חסם מלעיל של $A$ משום שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה.\\
גם $683$ חסם מלעיל של $A$, מאותה סיבה. \\
$463$ הוא חסם מלעיל מיוחד, הוא המקסימום, הוא חסם מלעיל שנמצא בתוך $A$ עצמה, ובעצם גם החסם העליון משום שאם היה חסם מלעיל קטן ממנו, אז הוא היה קטן מ- $463\in A $ , כלומר קטן ממש מאיבר בקבוצה. (בעצם כל מקסימום הוא חסם עליון).\\מצד שני\\
$-5.5 $ חסם מלרע של $A$ משום שקטן או שווה לכל איברי הקבוצה.\\
$-5 $ גם הוא חסם מלרע של $A$, אך הפעם זהו מינימום משום שזהו חסם מלרע בתוך הקבוצה $A$. באופן דומה למקסימום, בתור מינימום, הוא גם חסם תחתון.
\end{example}
\begin{example}
ניקח את
$$B=\left \{\left ( \frac{1}{10} \right )^n : n\in \mathbb{N} \right \} = \left \{0.1,0.01,0.001,\cdots\right \} $$
נשים לב ש-$0.1$ חסם מלעיל של הקבוצה, ומשום גם נמצא בתוך הקבוצה הוא מקסימום שלה ומכאן גם חסם עליון.\\
מה המינימום שלה? נראה שאין כזה ע"י כך שנמצא את החסם התחתון של $B$ ונראה שהוא לא בקבוצה, למרות שמינימום הוא תמיד גם בקבוצה וגם חסם תחתון.\\
$0$ חסם תחתון של $B$ משום שחסם מלרע וגם אם קיים חסם מלרע גדול יותר, $\varepsilon$ אז מתקיים
$$\forall n :\varepsilon\leq \left ( \frac{1}{10} \right )^n =\frac{1}{10^n}\Rightarrow$$
$$\forall n : 10^n \leq \frac{1}{\varepsilon} $$
אבל החלק הימני קבוע והחלק השמאלי יכול להיות גדול כרצוננו (עבור בחירת $n$ מספיק גדול) ולכן קיבלנו שמשהו שגדול כרצוננו קטן ממשהו קבוע וזוהי כמובן סתירה, ומכאן ש-$0$ הוא חסם המלרע הכי גדול.\\
מצד שני $0\not\in B $ , ולכן אין מינימום.
\end{example}
שימו לב לשלילות הבאות:
\begin{remark}
מאחת ההגדרות של תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ מקבלים שלכל ונגדיר $AB=\subseteq\mathbb{R-a : a\in A\}$ חסומה . אזי $M $ חסם מלעיל (מלרע) קיים של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם עליון (תחתון).מלרע של $B$
\end{remark}
\begin{proof}
$-M$ חסם מלרע של $B$ אם ורק אם $\forall b \in B : -M\leq b $ אם ורק אם $\forall a\in A : -M\leq -a $ אם ורק אם $\forall a\in A : a\leq M $ אם ורק אם $M$ חסם מלעיל של $A$
\end{proof}
\begin{remark}
מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון.
\end{remark}
\begin{thm}
אם $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.
\end{thm}
\begin{thm}