שינויים
$$\sum_{k=0}^n (p_k-q_k) x^k = o((x-x_0)^n)_{x\to x_0} \Rightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{(p_0-q_0)+(p_1-q_1)(x-x_0) +\cdots (p_n-q_n)(x-x_0)^n}{(x-x_0)^n}=0 $$
אבל הגבול הזה קיים רק אם כל המקדמים (חוץ מהאחרון) של $x-x_0 $ הם אפסים והגבול מתאפס אם המקדם האחרון הוא $0$. לסיכום $p_k-q_k=0 $ ואז $p_k=q_k $ . \\לכן $P(x)=Q(x) $
\end{proof}
$$ \left ( \frac{1}{1-x^2} \right )^{(k)} (0) = \begin{cases}0& \text{if k is odd}\\ k!& \text{if k is even} \end{cases} $$
משום ש- $ \frac{\left ( \frac{1}{1-x^2} \right )^{(k)} (0)}{k!} =p_k $ . ככה לדוגמה אנחנו יכולים לחשב את הנגזרת ה- $2015 $ של הפונקציה ב-$0$ (יוצא $0$ ) ואת הנגזרת ה- $2016 $ ב-$0$ (יוצא $2016!$ ) בקלות .
