<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
נניח שאנו מחפשים את הגבול של $\lim_{x\to p} \frac{f(x)}{g(x)} $ . אם אחת הפונקציות שואפת ל-0 או אחת הפונקציות שואפת לאינסוף אנו יודעים די בקלות למה הגבול הזה שווה, ואם 2 הפונקציות שואפות למספר שהוא לא 0 גם קל מאריתמטיקה פשוטה של גבולות למצוא את הגבול של המנה. אבל מה קורה במצב של $\frac{0}{0} $ או $\frac{\infty}{\infty} $ ? אנחנו בבעיה, ופה נכנס כלל לופיטל (L'hospital) שבכלל התגלה ע"י ברנולי.
\begin{definition}
עבור $p \in \mathbb{R} $ נגדיר את הסביבה $U_\delta (p) $ להיות $(p-\delta ,p+\delta) $ . אם $p=\infty $ אז $U_\delta (p)=(\frac{1}{\delta} , \infty ) $ ועבור $p=-\infty $ נגדיר $U_\delta (p) = (-\infty , -\frac{1}{\delta}) $
\end{definition}
\begin{thm}
נניח $f,g $ גזירות בסביבה מנוקבת של ב- $U_{\delta_0} (p ) $ והנגזרת של עבור $g\delta_0>0 $ לא מתאפסת בסביבה מנוקבת זו. נניח גם ש- $\lim_{x\to p} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L $ קיים במובן הרחב (יכול להיות $\infty $ או $-\infty $ ).
אם אחד מהבאים מתקיים:
\begin{proof}
תהי $(\alpha,\beta) $ סביבה של $L$ . אזי עבור תת סביבה $(\alpha' ,\beta') \subset (\alpha, \beta) $ מהגדרת הגבול ידוע שקיים $\delta<\delta_0 $ כך ש- $\forall x\in U_\delta (p) : \alpha'<\frac{f(x)}{g(x)}<\beta' $
כעת יהיו $x,x_1\in U_\delta (p) $ אבל מצד אחד בלבד! (אם $p=\pm\infty $ כמובן שזה לא בעיה). לפי קושי $\exists c : \frac{f'(c)}{g'(c)} =\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)} $ (פה נכנס העובדה שהם רק מצד אחד, משום שאחרת אולי $c=p $ ואנחנו רוצים להמנע ממצב כזה).
(בה"כ $g$ לא מתאפסת בסביבת $p $ משום שאם מתאפסת אינסוף פעמים אז אפשר לפי רול למצוא נקודה בה $g'(c)=0 $ ואם היא מתאפסת מספר סופי של פעמים פשוט נצמצם את הסביבה ($\end{proof}delta $ ) מספיק כך שכבר לא יהיה כך.)
נוכיח את מצב 1: בגבול בו $x_1\to p $ מקבלים ש- $$\lim_{c\to p} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(x)-0}{g(x)-0} $$ אבל $$\alpha<tex>קוד\alpha'<\frac{f'(c)}{g'(c)}<\beta'<\beta \Rightarrow $$ $$\alpha<\alpha'\leq \lim_{c\to p} \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(x)}{g(x)}\leq \beta'<\beta $$ ואז קיבלנו שלכל סביבה של $L$ יש סביבה מנוקבת של $p$ בה $\frac{f(x)}{g(x)} $ נמצא בסביבה של $L$ , ומהגדרת הגבול נקבל ש- $\lim_{x\to p} \frac{f(x)}{g(x)} = L $ נוכיח את מצב 2:זנב ראינו ש- $$\alpha'(g(x)-g(x_1))</tex>f(x)-f(x_1)<\beta'(g(x)-g(x_1))$$ $$\alpha'(1-\frac{g(x_1)}{g(x)})+\frac{f(x_1)}{g(x)}</latex2pdf>\frac{f(x)}{g(x)}<\beta'(1-\frac{g(x_1)}{g(x)})+\frac{f(x_1)}{g(x)} $$ ונשים לב שהצדדים שואפים ל- $\alpha',\beta' $ ומכאן שעבור סביבה מספיק קטנה של $p$ נקבל עדיין ש- $$\alpha<\frac{f(x)}{g(x)}<\beta $$ ומאותה סיבה קודם נקבל את הדרוש \end{proof}