קוד:כל מטריצה משולשת נורמלית היא אלכסונית

\begin{lem}

כל מטריצה משולשת נורמלית היא אלכסונית.

\end{lem}

\begin{proof}

נסמן $A=\left(\begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ & \ddots & \vdots\\ 0 & & a_{nn} \end{matrix} \right )$ . לכן, $A^*=\left(\begin{matrix} \overline{a_{11}} & & 0\\ \vdots & \ddots & \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{nn}} \end{matrix} \right )$. נקבל שמתקיים: $$\left[AA^* \right ]_{1,1}=a_{11}\overline{a_{11}}+a_{12}\overline{a_{12}}+\cdots+a_{1n}\overline{a_{1n}}=\left | a_{11} \right |^2+\cdots+\left | a_{1n} \right |^2$$ $$\left[A^*A \right ]_{1,1}=a_{11}\overline{a_{11}}=\left | a_{11} \right |^2$$ $A$ נורמלית, כלומר $AA^*=A^*A$, ובפרט שני האיברים לעיל שווים. אם כן, קיבלנו שבשורה הראשונה, הכל מתאפס חוץ מהאיבר הראשון, ז"א $a_{12}=\cdots=a_{1n}=0$.

נמשיך בדרך זו, והפעם נסתכל על האיבר במקום 2,2: $$\left[AA^* \right ]_{2,2}=a_{22}\overline{a_{22}}+a_{23}\overline{a_{23}}+\cdots+a_{2n}\overline{a_{2n}}=\left | a_{22} \right |^2+\cdots+\left | a_{2n} \right |^2$$ $$\left[A^*A \right ]_{2,2}=a_{22}\overline{a_{22}}=\left | a_{22} \right |^2$$ מנימוק דומה לנימוק שניתן קודם, $a_{23}=\cdots=a_{2n}=0$.

נמשיך ונקבל שכל האיברים של $A$ מעל האלכסון הראשי הם אפסים, כדרוש.

\end{proof}