\begin{description}
\item[$\boxed{\Rightarrow}$] נניח ש-$p_T\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים וש-$T$ נורמלי. $p_T\left(x\right)$ מתפרק לחלוטין, ולכן $T$ ניתן לשילוש אוניטרי, ז"א שקיים בסיס אורתונורמלי $B$ של $V$ כך ש-$A=\left[T\right]_B$ משולשת. המטריצה $A$ משולשת, על פי הבנייה, וגם נורמלית (כי $B$ אורתונורמלי), ולכן לפי הלמה הקודמת, $A$ אלכסונית, כדרוש.
\item[$\boxed{\Leftarrow}$] $T$ ניתן ללכסון אוניטרי, אז הוא גם ניתן לשילוש אוניטרי, ולכן $p_T\left(x\right)$ מתפרק לחלוטין. אם כן, נותר להוכיח ש-$T$ נורמלי.
מספיק להוכיח שאם $B$ בסיס אורתונורמלי של $V$ כך ש-$A=\left[T\right]_B$ אלכסונית, אזי $A$ נורמלית. $A$ אלכסונית, לכן $A^*=\overline{A}^t$ גם אלכסונית, ולכן $AA^*=A^*A$, כי מטריצות אלכסוניות מתחלפות זו עם זו.