לפני שנוכיח את משפט ז'ורדן המלא, נוכיח גרסאות חלשות יותר, ומהן נגיע לגרסה המלאה.
\textbfbegin{משפט:thm} [משפט ז'ורדן הנילפוטנטי]
זהו משפט ז'ורדן בהנחה ש-$T:V\rightarrow V$ נילפוטנטי.
\end{thm}
נניח ש-$T:V\rightarrow V$ הוא אופרטור נילפוטנטי. אזי כל הערכים העצמיים שלו הם $0$. זאת אומרת, צריך להוכיח של-$T$ יש מטריצה מייצגת בצורת אלכסונית בלוקים, וכל בלוק הוא בצורה $J_m\left(0\right)$.
אם כן, נרצה לבנות בסיס $B$ כאיחוד זר $B=B_1\cup\dots\cup B_k$, כך שלכל $i=1,\dots,k$, המטריצה המייצגת של $T$ יחסית ל-$B_i$ היא מהצורה $J_m\left(0\right)$. הלמה הבאה תוכיח מתי זה קורה, כלומר מהי הצורה של החלקים $B_1,\dots,B_k$.