הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מבחן אבל להתכנסות טורים"

גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014

\begin{thm} יהי הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס ו- $b_n $ מונוטונית וחסומה, אזי הטור מתכנס. \end{thm}

\begin{proof} $b_n$ מונו' וחסומה ולכן מתכנסת לגבול $L$. נניח בה"כ ש- $b_n$ מונוטונית יורדת (ואם היא עולה נעשה באופן דומה) ואז מתקיים $$\sum a_n b_n = \sum a_n (b_n-L+L) = \sum a_n (b_n-L) + L\sum a_n $$ הטור הראשון מתכנס לפי דיריכלה והשני נתון שהוא מתכנס, אז הטור הוא סכום של מתכנסים ולכן מתכנס. \end{proof}