שינויים

\underlinebegin{משפט:thm} יהיו שני טורים עם איברים חיוביים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ כך ש- $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} a_n\leq b_n $ אזי\begin{enumerate}\item אם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתכנס אז גם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס

1. \item אם $\sum_{n=1}^\infty b_na_n $ מתכנס מתבדר אז גם $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n $ מתכנסמתבדר

2. אם $ \sum_end{n=1enumerate}^\infty a_n $ מתבדר אז גם $ \sum_{n=1}^\infty b_n $ מתבדר$\\$\underlineend{הוכחה:thm} קודם כל נשים לב ש-2 שקול לוגית ל-1 (ידוע ש- $p\rightarrow q \Leftrightarrow \lnot q \rightarrow \lnot p $ ), לכן מספיק להוכיח רק את 1.

נניח שהטור $\sum_begin{n=remark}משפט 2 שקול לוגית למשפט 1משום שמתקיים$$p\rightarrow q \Leftrightarrow \lnot q \rightarrow \lnot p $$לכן מספיק להוכיח רק את 1\end{remark}^ \infty b_n begin{remark}אפשר "לזרוק" את כל האיברים שבאים לפני $ מתכנס, ולכן גם n_0 $ ואז אם $\sum_{n=n_0}^\infty b_n a_n $ מתכנס, ומכאן שהוא חסום מלעיל. הסס"ח של בוודאי גם$$a_1+a_2+\cdots + a_{n_0 - 1} + \sum_{n=n_0}^\infty a_n $ מהווים סדרה מונוטונית עולה (זהו טור שכל איבריו חיוביים) וכיוון שהם קטנים מהסס"ח של $= \sum_{n=n_01}^\infty b_n a_n $ , הסופרימום שלהם קטן או שווה לסופרים של $לכן בהוכחה נניח ש- $n_0=1 $\end{remark} \begin{proof}נניח שהטור $\sum_{n=n_01}^\infty b_n $ מתכנס, ומכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה ולכן מתכנסתאזי סדרת הסכומים החלקיים $B_n $ חסומה (נקרא לחסם מלעיל שלה $M$). כעת ברור ש- נסתכל על סדרת הסכומים החלקיים$$A_n=\sum_{nk=1}^n a_k \infty a_n = leq \sum_{nk=1}^{n_0n b_k = B_n \leq M $$ולכן $A_n $ חסומה ומכאן ש-1} + $\sum_{n_0n=1}^\infty a_n $ מתכנס.$\end{proof}\$begin{example}דוגמה: הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $ מתבדר או מתכנס? נראה כי $\sqrt{n}\leq n\Rightarrow \frac{1}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}} $ וכיוון שהטור ההרמוני $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $ מתבדר אז לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור שלנו מתבדר.\end{example}