שינויים
אם $A_n$ סדרה מתכנסת ל- $C$ אז נקבל (מכך שהסדרה $A_n$ מונוטונית עולה) ש- $S_n \leq 2C- a_1 $, כלומר חסומה מלעיל, ולכן מתכנסת. מאי השיוויון שקיבלנו אפשר לקבל את הכיוון בשני של הטענה באופן דומה. משל
$\\$
הערה חשובה: אם הסדרה לא מונו' יורדת, המשפט לא יתקיים. דוגמה די מאולצת היא הסדרה $x_n=0,0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},0,\frac{1}{8} $ . במקרה הזה $S_n=0 $ ולכן ברור שהטור "המתאים" שלה מתכנס, אבל הטור לא מתכנס. נניח בשלילה שמתכנס, אז $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^\infty x_n + \sum_{n=1}^\infty y_n $ כש- $y_n=\frac{1}{n}-x_n $ ו- $\sum y_n $ הוא "כמעט" טור הנדסי (עד כדי הרבה אפסים) ולכן מתכנס ואז הטור ההרמוני הוא סכום של טורים מתכנסים, סתירה!
