שינויים
\begin{definition}
נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכון לומר שקיים $\lim_{x\to a} f(x) $ ששווה ל- $f(a)$ . \\במקרה הזה קיימות 3 אפשרויות:\begin{enumerate}1. \item קיים הגבול $\lim_{x\to a} f(x) $ (ובפרט קיימים הגבולות החד צדדיים והם שווים) אבל הוא שונה מ-$f(a)$ . במקרה זה אומרים ש-$a$ נק' אי רציפות סליקה (או "סוג אפס"). 2. \item לא קיים הגבול, אבל קיימים הגבולות החד צדדיים $\lim_{x\to a^+} f(x) , \lim_{x\to a^-} f(x) $ (ואז זה אומר שהם שונים). במקרה הזה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג ראשון. 3. \item לפחות אחד הגבולות החד צדדיים לא קיים. במקרה זה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג שני\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{theoremthm}
לפונקציה מונוטונית $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ יכולות להיות נק' אי רציפות מסוג ראשון בלבד
\end{theoremthm}
\begin{proof}
נניח בה"כ ש- $f$ מונוטונית עולה ונראה כי $$\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \sup_{x\in (a,x_0)} f(x)\leq f(x_0) , \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\inf_{x\in (x_0,b)}\geq f(x_0)$ $ולכן הגבולות החד צדדיים קיימים.
אבל אם הם שווים ושונים מ- $f(x_0)$ נגיע לסתירה משום שאם נניח בה"כ ש- \\$\lim_{x\to x_0} f(x) > f(x_0) $ אז קיים $\delta $ כך ש- $\forall x : 0<x_0-x<\delta $ מתקיים ש- $$\left (\lim_{x\to x_0} f(x)\right ) - f(x) \leq \left (\lim_{x\to x_0} f(x)\right )-f(x_0) \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $ $למרות ש- $x<x_0$ וזה בסתירה למונוטוניות של $f$
\end{proof}
